czwartek, 3 stycznia 2013

50/50

Siostry dbają o siebie, a ja to wykorzystuję  - do nauki ułamków oczywiście.
Rita dostała piękny prezent od Weroniki: dwa własnoręcznie przez nią zrobione koniki. Podzieliła się z siostrą:
Gdy dostała cztery flamastry z błyszczącym brokatem od Kamilki, podzieliła je sprawiedliwie - pół dla Rity, pół dla Julii. Każda dostała dwa całe flamastry. Gdy na talerzu zostaje ostatnia grzanka, a obie córy są nadal głodne, dzielą ją na dwie równe części - połówki. Gdy podział jest ewidentnie nierówny (kawałki są różnej wielkości) wywiązuje się ciekawa dyskusja.
Pan Adam Miziołek w czasopiśmie "Matematyka w szkole" radzi oswajać ułamki tak:
"... Liczba naturalna dla każdego coś oznacza, kojarzy się z ilością. Ułamek wielu dzieciom nie kojarzy się z niczym konkretnym. A więc przede wszystkim musimy utworzyć w ich umysłach model ułamka, konkretne wyobrażenie. Jeśli ono powstanie, sposoby wykonywania działań staną się oczywiste (a przynajmniej zrozumiałe). Jak zobrazować ułamek?..."
U nas wygląda to tak:

  • najpierw kroję jedno jabłko na 2 części. Za pierwszym razem są to 2 różne części (większa, mniejsza). Rita zjada większy kawałek jabłka niż ja. Następnie staram się podzielić jabłko na dwie równe części, którymi się dzielimy - każda z nas dostała tyle samo, czyli pół jabłka. 
Jedno jabłko to 2 połówki, dwa jabłka to 4 połówki...
Mam nadzieję, że Rita zapamięta, iż dwie połowy tworzą jedną całość, co ułatwi jej zrozumienie szkolnego zapisu:  1 = 1/2 + 1/2 = 2/2
  •  następnie wykorzystuję połówki jabłek do otrzymania całych jabłek:
3 połówki jabłka to jedno całe jabłko i pół jabłka.
4 połówki  jabłka to 2 całe jabłka
Rita liczy połówki (2,4,6,8,10), potem składa z nich całe 5 jabłek
Tu mam pewność, że zabawa ta ułatwi w przyszłości Ricie dodawanie ułamków (o tych samych mianownikach) oraz ich mnożenie:  1/2 +1/2+1/2+1/2 = 4/2 = 4:2 = 2 lub 4*1/2 =2
Na koniec Rita dostała zadania do rozwiązania:
  • Oto trzy jabłka do równego podziału między Ciebie i siostrę. Jak je podzielisz?

 Odpowiedź Rity: jedno jabłko dla Julki, jedno dla mnie, a  jedno trzeba podzielić na pół.
Półtora jabłka to jedno całe jabłko i jeszcze pół.

  • Sprawdź proszę, co jest cięższe: cały owoc, czy jego połowa i dlaczego?
Rita znów staje się wagą. Całość jest większa i cięższa dwukrotnie.
  • Czy zawsze połowy są sobie równe?


  • Czy możesz podzielić sprawiedliwie jedno jabłko pomiędzy dwie osoby bez jego krojenia? Rita: Nie.
    Czy możesz podzielić sprawiedliwie dwa jabłka pomiędzy dwie osoby bez ich krojenia? Rita: Tak, każdy dostanie po jednym jabłku.
    Czy możesz podzielić sprawiedliwie trzy jabłka pomiędzy dwie osoby bez ich krojenia? Rita: Nie.
    A gdybyś mogła kroić jabłka? Czy teraz podzielisz sprawiedliwie jabłka?
    Rita: Tak, trzeba jedno przekroić na pół. Każdy dostanie jedno jabłko i jeszcze pół.
    Byłam zdumiona, bo Rita dzieliła te jabłka w pamięci! Chciałam sprawdzić z iloma jabłkami da sobie radę. Doszłam do 8! Przy dziewięciu jabłkach usłyszałam:
    Mamo, wolę podzielić 10 jabłek. Pokazuje palce u obu rąk. Każdy dostanie po 5.
    Brawo Rita!
    W szkole nie powinna mieć kłopotu ze zrozumieniem hasła: PARZYSTOŚĆ LICZB
W nagrodę czekało nas wspólne przygotowanie i konsumpcja sałatki owocowej.
Połowę owocu kroimy na pół i jeszcze raz na pół, i ponownie na pół...
I oczywiście lekcja angielskiego:
Dla osób czujących niedosyt, zapraszam do Khan Academy - z polskim lektorem i napisami w języku polskim. Znaleźć tam można min. odpowiedź na pytanie: co to są ułamki, co wyobrażają i do czego służą. Wystarczy kliknąć i poszukać: ARYTMETYKA - UŁAMKI
A jeśli kogoś dręczy pytanie: 
Dlaczego nie mogę dodawać ułamków, tak jak je mnożę?
Pan Ian Stewart w swojej książce "Gabinet matematycznych zagadek", część II daje taką odpowiedź:
"Właściwie możesz, jeśli chcesz - to wolny kraj. Podobno. Ale nie otrzymasz prawidłowej odpowiedzi."
 2/5 * 3/7 = 2*3/5*7 = 6/35 - to jest OK
2/5 + 3/7 = 2+3/5+7 = 5/12 - to nie jest OK
"Ponieważ 3/7 to prawie 1/2, podobnie jak 2/5, to kiedy dodajemy te ułamki, wynik musi wynosić co najmniej 1/2. Ale 5/12 to mniej niż 1/2, bo połowa 12 to 6. Błąd staje się jeszcze bardziej rażący, kiedy spróbujemy z  1/2 + 1/2, ponieważ:
1/2 + 1/2 = 1+1/2+2 = 2/4
nie ma sensu: przecież 2/4 = 1/2, więc taki rachunek mówi nam, że 1/2 + 1/2  = 1/2"
"Najłatwiej zrozumieć, dlaczego zasady dla tych dwóch działań są różne - i jakie być powinny - za pomocą obrazków..."
Julia przygotowała obrazki.
Żeby je zrozumieć , trzeba pamiętać, że:
1 cm * 1 cm = 1*1 cm*cm = 1 centymetr kwadratowy
2 cm * 3 cm = 6 centymetrów kwadratowych
Centymetry kwadratowe to jednostki powierzchni
6 centymetrów kwadratowych oznacza pole prostokąta o bokach np. 2cm i 3 cm.

  • rysunek na górze przedstawia wynik mnożenia 2/5 * 3/7 = 2*3/5*7 =6/35






Pionowa kreska składa się z pięciu równych części.
2/5  - to dwie części z pięciu, stąd zaznaczone na niebiesko 2 części.
Pozioma kreska podzielona jest na siedem części.
3/7 - to trzy części z siedmiu, czyli zaznaczone są na niebiesko 3 części. 
Pole prostokąta otrzymujemy przez pomnnożenie dwóch boków. 
Duży prostokąt  składa sie z 5 * 7 = 35 kwadratów.
Mały - niebieski prostokat to 2*3  = 6 kwadratów. 
Mały prostokąt stanowi 6/35 dużego.  






  •  rysunek na dole przedstawia wynik dodawania 2/5 + 3/7 = 29/35
2/5 - to dwie części z pięciu - na różowo zaznaczamy dwa górne rzędy z pięciu dostępnych.
3/7 - to trzy części z siedmiu - na niebiesko zaznaczamy trzy kolumny z siedmiu dostępnych.
Część obszaru zaznaczonego na niebiesko i różowo zachodzą na siebie.
Teraz liczymy pokolorowane kwadraty:
14 kwadratów dają dwa górne rzędy (2 * 7), a 15 kwadratów dają trzy kolumny (3 * 5), co daje w sumie 29 pokolorowanych kwadratów z 35 (5 * 7) istniejących.
Otrzymujemy stąd zasadę dodawania ułamków (sprowadzanie do wspólnego mianownika) : 2/5 + 3/7 = 2*7 + 3*5/ 5*7 = 29/35

To już cały dzisiejszy wpis.

7 komentarzy:

  1. Ja zwracam jeszcze uwagę na to, by mówić "podzielić na połowy/na połówki" (a nie "na pół", bo jak mówi moja córka "na jedno pół się nie da" ;-)

    Zdjęcie z porównywaniem różnych połówek rewelacyjne, ale oczywiście wszystko jest równe SOBIE (samemu sobie ;-)

    Język polski trudny jest ;-)
    Może nawet trudniejszy niż matematyka? ;-)


    Pozdrawiam serdecznie :-)
    Buba


    PS. Polecam Twojego bloga prywatnie rodzicom małych dzieci :-)

    OdpowiedzUsuń
    Odpowiedzi
    1. Bubo,
      Cieszę się, że zwracasz uwagę na poprawność języka polskiego, nad którą nieustannie pracuję...
      Odniosę się do Twoich uwag wkrótce w następnym poście!
      Dziękuję za polecanie Mamatyki - może wspólnymi siłami zmienimy podejście rodziców do matematyki, a dzieci tylko na tym skorzystają.

      Usuń
  2. Fantastyczne pomysł jak zwykle. U nas była nieśmiertelna pizza. Ale, że to jedno z ulubionych dań dzieci więc poszło szybko i bezboleśnie :)

    OdpowiedzUsuń
    Odpowiedzi
    1. Lasche,
      Twoje komentarze zaspokajaja moją próżność - dziękuję!
      Pizza jest świetnym pomysłem, ale obawiam się, że w naszym wypadku zjedzenie połowy blachy byłoby bolesne.

      Usuń
  3. matematyczna anegdota

    Próbowałam wytłumaczyć chłopcom o co chodzi z tymi ułamkami. Więc mówię ...kupiłam okrągłą pizzę. Zaprosiliście swojego kolegę do nas i przyszedł dziadzio.

    ja: Na ile kawałków dzielimy pizzę?
    maluch: na 5
    ja: to ile kawałków ja dostanę?
    starszak : jeden
    ja: (tłumaczę) a więc mogę powiedzieć, że dostaję jeden kawałek z pięciu. W matematyce zapisuje się to 1 na górze, kreska i 5 na dole ...jeden z pięciu, czyli jedna piąta. A jak rozboli mnie brzuch i chcę oddać jeden kawałek dziadkowi to ile ma dziadzio?
    starszak: dwie piąte (bystrzak :))
    ja: a jak przyjdzie babcia z nową pizzą to na ile musimy podzielić kawałków?
    starszak : na pięć
    ja : hm...
    starszak: bo przecież ciebie boli brzuch ..

    OdpowiedzUsuń
  4. Z podziękowaniem i pozdrowieniami:
    http://bajdocja.blogspot.com/2014/03/caosci-poowki-i-cwiartki.html

    :-)

    OdpowiedzUsuń