środa, 27 lutego 2013

PRZEMIENNOŚĆ

Pewnego dnia po powrocie z przedszkola:
Rita: Wiem, ile to jest 10 dodać 5.
Matka: Uhoho - powiedz!
Rita: 11
Matka: To jest trochę więcej niż 11.
Rita: Oj pomyliłam się , 5 dodać 10 to jest 11.
Siostra: Też nie, spróbuj policzyć jeszcze raz.
Niestety Rita się obraziła. Po pewnym czasie wróciłyśmy do tematu i teraz córa już wie, że 10 i 5 to jest tyle samo, co 5 i 10. Odkryła prawo przemienności dodawania. Jak do tego doszło? Zacytuję słowa:
" Nie można dziecku wytłumaczyć, co to jest przemienność dodawania. Można o tym mówić kilka razy. Dziecko to nawet wyrecytuje z pamięci, tylko że z tego nic nie wynika, dopóki samo wielokrotnie nie przełoży elementów i nie policzy, za każdym razem otrzymując ten sam wynik. Wtedy buduje sobie schemat poznawczy, który później stosuje do wielu innych sytuacji życiowych. Są dzieci, którym do stworzenia schematu wystarczą 3-4 powtórzenia, inne potrzebują nawet 20 prób. Te, które potrzebują więcej powtórzeń, muszą je mieć zgromadzone w czasie, uporządkowane i dobrze przygotowane..."  
 "...W poznawaniu pojęć, których w matematyce jest wiele, dziecko musi przejść drogę od konkretu, przez wyobrażenie, po działania na symbolach.
Czy uczysz się matematyki, czy uczysz się jazdy na wrotkach potrzebujesz wielu doświadczeń. Muszą to być osobiste doświadczenie. Zbyt często, naszym zdaniem, działanie zastępuje jego przedstawienie za pomocą rysunku lub opowieścią o działaniu. Pogadanki, opowieści, pokazy, prezentacje w pierwszej klasie trzeba schować do nauczycielskiej kieszonki, a kieszonkę dobrze zamknąć na suwak i długo nie otwierać. Dla dziecka takie metody nauczania matematyki są niewłaściwe. Powtórzymy jeszcze raz – dziecko powinno działać na konkretach. Konkret w naszym rozumieniu to przede wszystkim ruch i manipulowanie przedmiotami.













Przytoczę jeszcze parę zdań z książki "Na progu":
"...Procedurę konstruowania pojęć porównamy do pociągu, który składa się z trzech wagonów. Pierwszy wagon to poziom rozumowań w oparciu o działania na konkretach. Drugi wagon to poziom rozumowań w oparciu o wyobrażenia. Trzeci wagon to poziom rozumowań w oparciu o czynności abstrakcyjne, wykonywane wyłącznie w umyśle. Pomiędzy wagonami są poziomy przejściowe. Konstruowanie danego pojęcia to przejście przez wszystkie wagony tego pociągu. W danym momencie dziecko funkcjonuje na różnych poziomach. Na przykład w zakresie konstruowania pojęcia dodawania będzie w wagonie drugim, w zakresie konstruowania umiejętności określania kierunków góra – dół będzie w wagonie trzecim..."
źródło
Poniżej nasz przykład jazdy pociągiem:
Wagon 1: Operacja na konkretach.
Na deser dostałaś 3 migdały, prosisz o więcej, dodaję więc jeszcze 2. Ile w sumie dostałaś migdałów?
Siostra dostała 2 migdały, dołożyła sobie jeszcze 3. Ile migdałów ma Julia?

Migdały można przesuwać.
Przejście pomiędzy wagonem 1 a 2:
Narysowałam 3 migdały i jeszcze 2 migdały. Wszystkie  trafiły do Twojej buzi. Narysuj buzię z migdałami w środku. Ile ich zjadłaś? 
Wagon 2: Rozumowanie w oparciu o wyobrażenia 
Na rysunku są 2 miseczki. W jednej z nich są 2 migdały a w drugiej 3 migdały. Policz ile jest migdałów w obu miseczkach. Rita nie może połączyć migdałów w jeden zbiór, musi sobie ten zbiór wyobrazić. 
Wagon 3: Rozumowanie w oparciu o czynności wykonywane w umyśle 
Ile to jest trzy dodać dwa? Napisz wynik.
3 + 2  = 
A ile to jest dwa dodać trzy? Uzupełnij działanie.
2 + 3 =
 
"...Metaforą pociągu można się także posłużyć do zilustrowania procesów i procedur zachodzących na poziomie całej grupy. Lokomotywa to nauczyciel, który decyduje o kierunku jazdy oraz tempie w jakim się porusza. Kolejne wagony to wyżej wymienione poziomy reprezentacji. Na jednym poziomie (w pierwszym wagonie) jest ósemka dzieci, na drugim poziomie (w drugim wagonie) jest 15 dzieci, na trzecim poziomie (w trzecim wagonie) jest 5 dzieci. Cała klasa to 28 dzieci na różnych poziomach funkcjonowania w danym zakresie. Zadanie nauczyciela, w ogromnym uproszczeniu, to dowieźć wszystkich do stacji docelowej, a przy okazji samemu dojechać w dobrej formie..."
Po co nam  prawo przemienności dodawania?
Odpowiedzi szukałam jak zwykle na stronie Wrocławskiego Portalu Matematycznego:
Przemienność działań stosujemy zawsze, gdy zmiana kolejności ułatwia obliczenia, np.
  • zamiast dodawać liczby tak: 11+12+13+14+15+16+17+18+19, dodajemy tak: 11+19+12+18+13+17+14+16+15, bo łatwo obliczyć, że to 30+30+30+30+15, czyli 135
Pan   Michał Szurek w swojej książce "O nauczaniu matematyki" proponuje takie ćwiczenie:
Oblicz sumę 4+ 247. Innymi słowy: do liczby 4 dodaj 247. Jaki wynik otrzymałeś? 251? Bardzo dobrze. A teraz zastanów się, jak to obliczyłeś. Na pewno odwrotnie: do 247 dodałeś 4, prawda? To jedna z pierwszych zasad arytmetyki, ważna w nauczaniu początkowym: psychologicznie dodawanie nie jest przemienne. 4 dodać 247 to nie to samo, co 247 dodać 4. Każdy nauczyciel musi o tym pamietać, każdy podręcznik musi to uwzglęniać.

A teraz przykład zadania (pochodzi ono z książki "Sensy i Bezsensy Edukacji Wczesnoszkolnej"), dzięki któremu dzieci mają szansę odkryć przemienność mnożenia. Warto do niego podejść ze swoimi "wczesnoszkolnymi" dziećmi.
Proszę zajrzeć  TUTAJ - inny typ zadania
Rysujemy tabliczkę czekolady tłoczoną w 15 małych prostokątów (3x5). Następnie stawiamy pytanie: "Na jakie różne sposoby możemy obliczyć, ile jest kostek czekolady?". Każdy nowy sposób notujemy na kartce z jednoczesną prezentacją na rysunku.
W książce przeczytałam, że: 
  • nauczycielka podzieliła klasę na czteroosobowe grupy
  •  sposoby podane przez dzieci to: 3+3+3+3+3 = 15; 5+5+5 = 15, 5x3 =15; 1+1+...+1 = 15; Podkreślana jest wielość dobrych metod!
  • uczniowie zauwazyli, że: dodawanie też jest dobre, ale jak sie weźmie "razy" to liczy się szybciej
  • nauczycielka zapytała, czy uczniowie widzą coś ciekawego w sposobach z mnożeniem? Kilku uczniów skomentowało, że "to tak samo, tylko odwrotnie". Wyjaśnili to sobie jeszcze raz na rysunku.
  • nauczyciel pogratulował im odkrycia przemienności mnożenia!
Później ćwiczyli z prostokątem o wymiarach 4x6

Dla starszych dzieci też mam zadanie, które (jak co piątek) dostałam  od  The Math Mom: Dlaczego nasze numery telefonów muszą mieć tak dużo cyfr?
Załóżmy, że istnieje kraj z dobrze funkcjonującą siecią komórkową, w którym mieszka tylko 10 osób. Czy każda z nich potrzebuje 10 - cio cyfrowego numeru telefonu do komunikacji z pozostałymi? Jeśli nie, to ile cyfr wystarczy? 
Odpowiedź prawidłowa: wystarczy jedna cyfra dla każdego. Do wyboru są takie cyfry: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. A co jeśli urodzi się jedenasta osoba? Potrzebuje ona już numeru dwucyfrowego np. 10. Nadajemy więc wszystkim osobom dwucyfrowe numery  - sprawiedliwość musi być. Pierwsze 10 osób otrzymuje w kolejności takie numery: 00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09. Jedenasta osoba ma numer 10, dwunastej osobie przypisujemy numer 11 itd... Setna osoba otrzyma numer 99. Licząc tak dalej otrzymujemy:
1 cyfra jest wystarczająca dla 10 osób, 
2 cyfry - 100 osób
3 cyfry - 1000 osób
4 cyfry - 10 000 osób itd.
Teraz warto spojrzeć, ile osób mieszka w Polsce i wziąć poprawkę na to, że niektórzy dysponują więcej niż jednym numerem komórkowym.

Wieczorami z książką na kolanach śledzę z Ritą, co się dzieje z migdałami i czekoladą, które powędrowały do jej buzi.
źródło
A Julę przekonuję, że Historia Matematyki może być ciekawa.

4 komentarze:

  1. jak zwykle brak mi słów jeśli chodzi o kompleksowość z jaką podchodzisz do zagadnień matematycznych. Fajnie mają te Twoje dziewczyny. :)

    OdpowiedzUsuń
  2. Lashe - to tylko tak ładnie na blogu wygląda.

    OdpowiedzUsuń
  3. Wiem coś o tym tworząc własne przekrojowe projekty na blogu niemniej jednak Twoje podejście jest tak interesujące, że chętnie kazałabym wszystkim nauczycielom nauczania początkowego czytać Cię do poduszki :)

    OdpowiedzUsuń
  4. Och Lashe! Wystarczy, że wszyscy rodzice będą mnie czytać i na tym nie poprzestaną;-) Co do nauczycieli - mam nadzieję, że dostają wytyczne od MEN, żeby zapoznać się z lekturą Na progu i ją stosować w praktyce.

    OdpowiedzUsuń