czwartek, 4 sierpnia 2016

4 BARWY

Ian Stewart w swojej książce "Niezwykłe liczby profesora Stewarta" tak opowiada:
" ... Około 150 lat temu matematycy* zajęli się mapami. Nie interesowały ich jednak problemy dotyczące sporządzania dokładnych map świata czy odzwierciedlania okrągłej kuli ziemskiej na płaskiej kartce papieru. Zaciekawiły ich dość mgliste pytania związane z ogólnym pojęciem mapy. W szczególności zaczęli się zastanawiać, co trzeba zrobić, żeby pokolorować mapę tak, by graniczące ze sobą obszary były oznaczone różnymi barwami. Niektóre mapy nie wymagają użycia zbyt wielu kolorów. Kwadraty szachownicy tworzą na przykład bardzo regularną mapę i do jej pokolorowania wystarczą dwie barwy.
szachownica do kolorowania

Gdy jednak obszary są mniej regularne, dwa kolory już nie wystarczą. Weźmy na przykład mapę Stanów Zjednoczonych z obszarami przedstawiającymi 50 stanów. Nie ulega wątpliwości, że do jej pokolorowania wystarczy 50 barw, po jednej na każdy stan, ale stać nas na więcej.  
Spróbujcie sami pokolorować te obszary, by się przekonać, jak najmniejszą liczbą barw uda się wam oznaczyć wszystkie stany zgodnie z przyjętymi wymogami. 
Warto może jeszcze tylko wyjaśnić jeden szczegół: stany stykające się ze sobą w jednym punkcie, takie jak Kolorado i Arizona mogą być oznaczone tym samym kolorem, ponieważ nie mają wspólnej granicy.
Mapa Stanów Zjednoczonych nie jest szczególnie skomplikowana i bez trudu możemy sobie wyobrazić mapy obejmujące miliony obszarów o powyginanych granicach i licznych wypustkach sięgających w różne odległe miejsca. Matematycy rozważający tę kwestie nabrali jednak silnego przekonania, że do pokolorowania każdej, najbardziej złożonej mapy wystarczą cztery barwy. Jeśli tylko jest spełniony warunek, że mapa jest narysowana na płaszczyźnie lub sferze i nie występują na niej obszary składające się z oddzielnych części, to cztery kolory w zupełności wystarczą..."
* "... Problem czterech barw pojawił się w 1852 roku, gdy Francis Guthrie, młody matematyk i botanik z Afryki Południowej, zabrał się do kolorowania hrabstw na mapie Anglii. Odniósł wrażenie, że zawsze wystarczają cztery barwy, spytał więc swojego brata Fredericka, czy jest to znany fakt. Frederick postawił to pytanie wybitnemu, choć ekscentrycznemu matematykowi Augustusowi De Morganowi, De Morgan nie miał pojęcia, zatem napisał do jeszcze wybitniejszego matematyka, sir Williama Rowana Hamiltona. Hamilton też nie znał odpowiedzi na to pytanie i szczerze mówiąc, nie bardzo go to interesowało..."
Dalszy ciąg historii twierdzenia o czterech barwach można również znaleźć w artykule: CZTERY BARWY WYSTARCZĄ, a w artykule: O DWÓCH TAKICH CO KOLOROWALI MAPĘ znalazłam dwuosobową grę o prostych regułach:
 "Niech dwaj gracze, Jacek i Placek (oryginalnie Minimizer i Maximizer  - Explorations in topology str. 90 ), na przemian kolorują regiony (państwa) zadanej mapy, mając do dyspozycji ustalony (ten sam dla obu) zbiór kolorów. Grę rozpoczyna Jacek i jego celem jest takie wybieranie regionów i kolorów, aby cała mapa została w końcu poprawnie pokolorowana. Natomiast jego przeciwnik, Placek, chce za wszelką cenę temu zapobiec. Jednak obu graczy obowiązuje ta sama reguła, że w każdym momencie gry regiony, które graniczą ze sobą, muszą mieć nadane różne kolory. Jacek zwycięża, gdy cała mapa została poprawnie pokolorowana, Placek zaś w przeciwnym przypadku."

Jak wykorzystać cztery barwy z dziećmi? Podpatrzyłam jak zrobili to inni:
  • Łamigłówki o rosnącym stopniu trudności polegające na kolorowaniu wzoru/mapy przy użyciu jak najmniejszej liczby kolorów zgodnie z regułą: 
Graniczące ze sobą obszary nie mogą być tego samego koloru. Obszary stykające się ze sobą w jednym punkcie mogą być oznaczone tym samym kolorem, ponieważ nie mają wspólnej granicy.

Math is fun:
źródło


Professor Joel David Hamkins : siedmioletnie dzieci i kolorowanie grafów.  Można wydrukować jedenasto-stronicową książeczkę z zadaniami opisanymi na blogu. Na stronie 6 dzieci mają za zadanie pokolorować "mapę" zgodnie z regułą opisaną wyżej przy użyciu jak najmniejszej liczby kolorów. Na stronie 7 mają narysować własną mapę i ją również pokolorować.
  • Gry
Colouring Curves Game: gra dla dwóch osób. Potrzebna jest kartka i ołówek. Jeden z graczy rysuje dowolną krzywą zamkniętą (przykład na stronie: klik). Na początek warto narysować krzywą z małą liczbą obszarów. 
Gracze na zmianę  wybieraja obszar i zamalowywują go zgodnie z regułą:  obszary nie mogą sąsiadować ze sobą/mieć wspólnej granicy, ale mogą się stykać w jednym punkcie.
Wygrywa gracz, który jako ostatni zamaluje obszar zgodnie z w/w regułą.

Warto zadać pytania:
  • Czy ma znaczenie, kto zaczyna grę? Czy to zależy od rodzaju krzywej?
  • Czy możesz zaprojektować krzywą, która zagwarantuje Ci zwycięstwo?
  • Przyjrzyj się zamalowanym obszarom, które się stykaja ze sobą. Czy możesz powiedzieć cos o ich liczbie?
  • Czy masz jakąś strategię wygrywającą?
Spider Web Map Coloring Game: dwie wersje gry dla kilku osób. 
Do gry potrzebna jest:
  • sześcienna kostka z takimi wartościami na ściankach: 1-1-1-2-2-Strata Kolejki
  • 3-4 różnokolorowe kredki
  • plansza: wybór w zależności od wersji gry
Gracze na zmianę rzucaja kostką. Liczba oczek, która wypadnie to liczba obszarów do pokolorowania zgodnie z regułami
  1. obszary sąsiadujące ze sobą muszą mieć różne kolory 
  2. obszary, które stykają się w jednym punkcie mogą być tego samego koloru.  
Gra toczy się dopóki można kolorować obszary. Wygrywa gracz, który zamalował ich najwięcej (wersja pierwsza gry dla 3-4 graczy) lub zdobył jak najwięcej punktów na zamalowanych przez siebie obszarach (wersja druga gry dla 2 - 4 graczy).

Brak komentarzy:

Prześlij komentarz