wtorek, 18 lipca 2017

GEOMETRIA I SZTUKA

Na wakacje do Kazimierza Dolnego* biorę książkę Mirosława Majewskiego: 
Po więcej tytułów zapraszam TUTAJ.

 Od Autora:
"... Ta książka jest w pewnym stopniu pamiętnikiem geometry podróżującego po świecie. Nie jest ona ani systematycznym opisem zjawiska, które określam jako ‘geometria i sztuka’ ani nawet naukowym podejściem do niego. Ot po prostu szkice, czyli pewne spostrzeżenia, opis moich wrażeń. Pokazuję tu świat taki, jakim ja go widzę i to o czym piszę nie jest ani obiektywne ani powszechnie postrzegane. Tak więc na stronach tej książki znajdziecie zdjęcia niektórych miejsc, w których kiedyś się znalazłem, a które najczęściej są mi bardzo bliskie. Znajdziecie tu również wiele konstrukcji geometrycznych związanych z tymi miejscami. Nie ma natomiast twierdzeń matematycznych ani ich dowodów. Nie ma tu nawet wzorów matematycznych – no powiedzmy z pewnymi drobnymi wyjątkami. To co mnie interesuje w tym wszystkim to głównie znalezienie odpowiedzi na pytanie ‘jak oni to skonstruowali?’. I na to pytanie za każdym razem będę próbował znaleźć odpowiedź. Jest to więc swoisty powrót do źródeł współczesnej geometrii, do czasów Euklidesa i zasad, które on i jemu współcześni stosowali. Przypomnijmy je za chwilę pokrótce, gdyż będą one nam towarzyszyły od pierwszej do ostatniej strony tej książki, być może z pewnymi drobnymi wyjątkami.
Naszymi narzędziami w tej książce będą wyłącznie – cyrkiel potrzebny do rysowania okręgów lub łuków, oraz linijka bez podziałki wystarczająca do tego aby narysować odcinek łączący dwa punkty lub przedłużyć go w jedną lub drugą stronę. Nie będziemy używać żadnych innych narzędzi.
Zasady jakie będziemy stosować są następujące[1]:
  1. Dowolne dwa punkty można połączyć odcinkiem.
  2. Dowolny odcinek można przedłużyć nieograniczenie w obie strony (linia prosta).
  3. Dla danego odcinka można narysować okrąg o środku w jednym z jego końcowych punktów i promieniu równym jego długości.
  4. Wszystkie kąty proste są równe.
  5. Przez dany punkt można poprowadzić co najwyżej jedną prostą rozłączną z daną prostą (prosta równoległa)..."
Ciąg dalszy konstrukcji na stronie Autora.
Ja spróbuję namówić Jowitę na konstrukcję KWINKUNKSA;)
Zosia i Rita zaczną od konstrukcji własnego cyrkla:

 
Źródło zdjęcia.

Kolejny krok:
Nauka posługiwania się cyrklem.
Czekając na wyjazd:
Przekroje - sztuka posługiwania się nożem.

 Na relację zapraszam w sierpniu.

* Będziemy zwracać uwagę na sztukę, w której widać wpływy geometrii.

czwartek, 29 czerwca 2017

DO LIBRUSA

Prof. UW  dr hab. Małgorzata Żytko w przedmowie do książki Michała Szurka "Kształty i kolory matematyki":
" ... Myślenie matematyczne jest związane z aktywnością, w którą zaangażowane są różne obszary dziecięcego poznawania świata. W tradycyjnym nauczaniu dominują podręczniki i zeszyty ćwiczeń, w których wypełnia się, często w automatyczny sposób, całe serie typowych zadań, dominuje myślenie symboliczne - najtrudniejsze dla dzieci rozpoczynających przygodę z matematyką. Karty pracy w zeszytach ćwiczeń są często wypełnione, dokładnie zagospodarowane pomysłami dorosłego, dziecko ma tylko uzupełnić puste okienka, nie angażując się nadmiernie intelektualnie. Dorosły bowiem wcześniej zaplanował sposób rozwiązania, wszystko przygotował, aby ułatwić dzieciom poprawne rozwiązanie, ale czy zrozumienie? Dzieci, wykonując serie typowych zadań, które nie wymagają wysiłku intelektualnego, zdobywają wątpliwej jakości doświadczenia edukacyjne, niszczące ich początkową chęć i zapał do uczenia się matematyki. Przy dominacji algorytmicznego podejścia, eksponującego przyswajanie i powielanie wzorów, będących własnością dorosłego, dzieci uczą się przede wszystkim powtarzania i pamięciowego opanowywania wiedzy i umiejętności, powielania myślenia dorosłego, które nie jest ani ich odkryciem, ani intuicją.

Rozwiązywanie problemów matematycznych może się odbywać w różnorodny sposób:
  • konkretny - z wykorzystaniem działań na konkretnych materiałach (klockach żetonach, monetach, obiektach materialnych, przyrządach, np. waga, termometr), pomagają one w budowaniu modeli sytuacji matematycznych czy problemu, przeprowadzaniu doświadczeń z różnymi obiektami w sytuacjach codziennych, w realnym kontekście, wykorzystywaniu umiejętności w praktyce;
  •  wizualny - przedstawianie problemów w obrazowy sposób, tworzenie modeli, wizualizacje, rysunki, komunikacja graficzna, modele;
  • społeczny - współpraca z rówieśnikami i kolegami, inspirowanie się innymi rozwiazaniami, porównywanie strategii rozwiązania, wspólne dochodzenie do celu, stawianie hipotez, obserwowanie, pytanie innych;
  • werbalny - wyjaśnianie strategii działania, argumentowanie, przekonywanie innych do własnego rozwiązania, dyskusja.
Podejmowanie działań na materiale symbolicznym to końcowy etap, warto do tego dochodzić stopniowo, umożliwiając najpierw zrozumienie matematycznych problemów i pojęć..."

Wybrane przykłady problemów matematycznych z wykorzystaniem konkretów/klocków pochodzą z książki "Kształty i kolory matematyki":
Strona 17.
Strona 18

czwartek, 15 czerwca 2017

CO ROBIMY?

  • Dzięki Pani Ani z przyjemnością gramy w grę Dr Eureka:
Źródło zdjęcia
Cel gry: ułożenie 6 kulek w 3 probówkach  zgodnie z układem widocznym na karcie zadania. 
Próbówki można układaći do góry dnem - na początku opcja rzadko wykorzystywana.

Obowiązuje przy tym kilka reguł. Po opis gry zapraszam TU  TU.
Na początek graliśmy bez presji czasu. Był śmiech, szukanie kulek po całej kuchni. "Przelewanie" kulek bez ich dotykania nie jest proste - trzeba  odkryć jak to robić. Odwrócenie fiolki "do góry nogami" to wyzwanie.


A znalezienie najkrótszej drogi do rozwiązania wymaga logicznego myślenia i wielu ćwiczeń, które podczas tej gry sprawiały dzieciom frajdę. Oczywiście frustracja też była.
  • Rozwiązujemy różnego typu labirynty - znalezione na stronie MAZELOG - niektóre rysuję kredą na podwórku.
Arrow mazes: Startujesz w lewym górnym rogu (strzałka na żółtym polu), poruszasz się zgodnie z kierunkiem strzałki o tyle pól, ile chcesz. W tym wypadku masz do wyboru dwie opcje: ruch o jedno pole lub o dwa pola.
Kolejna strzałka wskazuje Ci kierunek. Cel:  dojście do prawego dolnego rogu - kółka na żółtym tle.
http://www.mazelog.com/show?24

 Spróbujcie rozwiązać - online - taki labirynt: http://www.mazelog.com/show?4I.

Colour Change Arrow Mazes ma dodatkowy warunek: kolejna strzałka musi być w innym kolorze niż poprzednia.


 **********************************


  W wakacje planujemy poznać CYRKIEL.


wtorek, 6 czerwca 2017

PROŚBA DO BLOGOWICZÓW

Zbieram sobie dane na temat:
  • ile dzieci miało okazję pracować na geoplanie w szkole?  Mam na myśli dzieci z edukacji wczesnoszkolnej i klasy 4, 5, 6. Jak często z niego korzystały? Czy mają związane z nim jakieś wspomnienia? A może rodzice - jako uczniowie się z geoplanem zetknęli? ...
Jeden z wielu rodzajów geoplanu.
  • ile dzieci pracowało na lekcjach w szkole z kostkami sześciennymi. W których klasach? Jak często? ...

Będę bardzo wdzięczna ze pozostawienie informacji w komentarzu lub "w mejlu": 
hey.malgorzata@gmail.com
 ****************************************
Moje dwie córki (21 lat i 9 lat) nie miały styczności z tymi przedmiotami w szkole:(

poniedziałek, 29 maja 2017

MNOŻENIE/DZIELENIE

Z konkretem (pieniądze, klocki) i osią liczbową (centymetr krawiecki, kartka papieru).
M: Wolisz mnożyć 11 x 5, czy 5 x 11?
R: 5 x 11.
M: Pieniądze, czy klocki?
R: Pieniądze.
Widać pięć dziesiątek i pięć jedynek.
M: To ja w tym czasie ułożę klocki.
Sprytny sposób na mnożenie. Po więcej zajrzyjcie do Bajdocji.
To może teraz 10 x 11?
I znów wszystko widać.
M: A 11 x 11 to?
R: 121, bo wystarczy dodać jedną jedenastkę.
Ten przykład był ciekawy:
M: A 9 x 12?
R:  To będzie to samo co 10 x 11, zabieramy 1 z 12 i dokładamy do 9.
M: Hmm, sprawdź sama na konkretach.
9 x 12
Przygotowanie do zabrania jednej złotówki z każdej dwunastki.
Po tej zmianie jest 9 x 11 i jeszcze 9, czyli jednak to nie będzie 10 x 11, bo brakuje 3.
 M: To teraz czas na 11 x 5. Ułóż piątki tak, żeby Tobie wygodnie było liczyć.
2 x 20 + 10 + 5
5 x 10 + 5
I to samo działanie (11 x 5), ale na  osi liczbowej .
Zaczynamy od 0 i skaczemy "co 5" jedenaście razy. Lądujemy na liczbie 55.
Można skakać inaczej (wielokrotności piatki): "co 10", co 50 - wybór należy do dziecka. Efekt końcowy jest ten sam: liczba 55 zawiera w sobie jedenaście piątek.
18 x 3  - zamiast skakać osiemnaście razy "co trzy" można skoczyć od razu na 30...

Sam rysunek nie do końca przemawiał do córki. Pomyślałam o piratach i skakaniu na centymetrze. Zaczęłyśmy od działania, którego wynik Rita znała, czyli 11 x 5. Do tego doszła opowieść w której udział brało kilka piratek. Zdjęcia poniżej.  
Mała piratka stoi na liczbie 55 - znanym wyniku mnożenia 11 x 5. Matka piratka z załogą pokonywali odległość (0-55) w skokach (wielokrotności piątki). Z ich udziałem rysunek stał się czytelny.
Matka piratka szykuje się do skoku, którego długość określa Rita.
Matka przeskoczyła pięć piątek i stanęła na 25.
Kolejny skok należy do innej piratki, która startuje z liczby 25.
Pokonuje ona tę samą odległość pięciu piątek i ląduje na 50.
Ostatni skok z liczby 50 na 55 (jedna piątka) należy do trzeciej piratki.
Inny sposób: pierwszy skok od 0 do 50 (10 piątek), drugi skok od 50 do 55 (jedna piątka).

To samo można robić z dzieleniem:
Kolejny przykład: 85 : 5 =?
Ile piątek mieści się w 85?
Córa wybierała długość skoków. Dzięki temu miała okazję coś odkryć.
Pierwszy skok na liczbę 45 - Rita zapamiętała, że tam mieści sie dziewięć piątek.
Kolejny skok i kolejne dziewięć piątek - o jedną piątkę za daleko. Super - co dalej?
Dwa skoki po 9 piątek to 18 piątek.
R: Trzeba się cofnąć o jedną piątkę!

Od tych osiemnastu piatek trzeba odjąć jedną piątkę.
 Reasumując: 85 : 5  =  17.
 Po pewnym czasie wystarczyła tylko kartka:
Szukanie własnych ścieżek!
 I jeszcze zabawa z taką "osią liczbową"
Kolorowanie liczb podzielnych przez 3.
Czy każda liczba podzielna przez 9 jest podzielna przez 3? 
Ile trójek mieści się w 45?
Ile dziewiątek mieści się w 45?
Które liczby są podzielne przez 3,9,5?
Po takich ćwiczeniach można grać w grę dwuosobową (każdy gracz ma swój kolor długopisu): Four Go
Oś liczbowa i plansza z 9 liczbami do wyboru.
Pierwszy gracz wybiera dwie liczby z planszy. Ma do wyboru dwa działania: mnożenie lub dzielenie liczb przez siebie. Wynik tego działania (liczby naturalne) zaznacza na osi liczbowej. To samo robi drugi gracz. Wygrywa osoba, która zakreśli cztery liczby w rzędzie. I nie będzie tam po drodze liczby zakreślonej przez przeciwnika. Jak grać, żeby wygrać?
Czerwony kolor wygrał.

czwartek, 25 maja 2017

OŚ LICZBOWA

i FACHOWCY:
  • Dorota Klus-Stańska, Alina Kalinowska "Rozwijanie myślenia matematycznego młodszych uczniów":
"... Z naszych obserwacji lekcji wynika, że wielu nauczycieli nie traktuje osi jako geometrycznego przedstawienia liczby, ale koncentruje się na punktach te liczby wyznaczających. W ten sposób "bardziej uprawniony" staje się jeden koniec jednostki i na nim uczniowie koncentrują swoją uwagę. Zero na osi przestaje służyć do wyznaczania odległości, stając sie tylko bliżej nieokreślonym początkiem. Te doświadczenia uczniów kodują w nich przekonanie, że liczba punktów na osi jest taka sama jak liczba odległości (w sensie jednostek) przez te punkty wyznaczonych. Zdarza się, że nawet linijkę przykładają dopiero do jedności.  To czy punkt, czy odległość są w umyśle uczniów pierwszorzędnym atrybutem osi zależy z pewnością od sposobu wprowadzania tego zagadnienia w młodszych klasach. Jeśli jednak nasi uczniowie już mają opisywane wyżej trudności, wówczas proponowane przez nas zadania mogą spełnić funkcję korekcyjną.
Zad. 17/108
Robert ułożył 5 kamyków co 1 centymetr każdy. Jakiej długości powstała kamykowa ścieżka?
Zad. 18/108
Drwal ma pociąć 8-metrowy pień drzewa na metrowe kawałki. Za każde przecięcie dostaje 2 złote. Ile złotych zarobi drwal za pocięcie tego pnia?
Zad. 21/108
Adam kładąc co 1 centymetr kamyk, ułożył 12 - centymetrową ścieżkę. Ilu użył kamyków?
Zad. 22/109
Adam układał 12-centymetrową ścieżkę z kamyków kładąc je co centymetr. Ile kamyków musi zabrać, żeby ścieżka miała długość 9 centymetrów?..."

Odpowiedzi do zadań znaleźć można na końcu tego postu.
  • Zbigniew Semadeni "Matematyczna edukacja wczesnoszkolna. Teoria i praktyka":
"... Jeżeli w kolejnych ćwiczeniach (w ciągu roku szkolnego) będziemy modyfikować rysunek chodniczka do ściganek tak, że wymiar pól będzie stopniowo zmniejszany aż do kropki, to ruchy pionków w naturalny sposób przejdą w ruchy po osi liczbowej.
WYŚCIG.
Oś tym m.in. różni się od chodniczka, że kolejne punkty muszą być w tej samej odległości.
Córa wybrała własne odległości - 6 pinów/wypustek.
Bardzo ważna jest tu świadomość pewnej trudności, która ujawnia się na styku liczb porządkowych i miar.
Odcinek od 0 do 5 ma długość 5, ale uczeń widzi tam 6 punktów: 0,1,2,3,4,5
Przypuśćmy, że pionek stał na polu 1 i przeszedł na pole 4. Ile kroków wykonał?
Niektóre dzieci mówia 4 kroki. Liczą to, co jest percepcyjnie bardziej wyraziste, a mianowicie punkty 1,2,3,4.
Trzeba jednak liczyć nie punkty, lecz kroki tzn. odstępy między punktami, czyli przerwy, na które uczeń nie zwraca uwagi, gdy uczeń zajmuje się tym jedynie na papierze, w zeszycie ćwiczeń. Te kroki dziecko powinno wykonywać samo, idąc (w sali lub na dworze) po polach odpowiednio dużej ściaganki. Potem na mniejszej ścigance - kroki wykonuje laleczka, a na koniec wykonuje je pionek.
Dziecko będzie rozumieć kroki, jeśli samo wykona te ruchy..."

Czekając na obiad stworzyłyśmy i zagrałyśmy w ścigankę, przy okazji której córa ćwiczyła mnożenie trzech liczb przez siebie (po raz kolejny samodzielnie odkrywała przemienność mnożenia). Sprawdzała też, czy wynik tego mnożenia jest podzielny przez 3 (nagroda w postaci ruchu do przodu o 3 pola) i przez 5 (cofamy o jedno pole). 
Jeśli liczba nie dzieli się ani przez 3, ani przez 5 to idziemy do przodu o jedno pole. Oczywiście są też specjalne pola z zadaniami.
Rolka papieru - gotowy chodniczek.
2 x 5 x 6 = 10 x 6 = 60. Liczba podzielna przez 3 i przez 5.

"...Do mierzenia za pomocą podziałki centymetrowej przechodzimy dopiero po zebraniu przez uczniów wystarczających doświadczeń z różnymi miarkami (jakimi sa stopy, dłonie, kredki itp.)
Gdy takich doświadczeń brak, w umyśle dziecka nie wytworzą się schematy umysłowe niezbędne do należytego sensu mierzenia i do rozwiązywania trudniejszych zadań.
Pomiary długości:
Mierzenie wymiarów stolika zapałkami:
a) jednakowymi zapałkami
b) wielokrotne przykładanie jednej zapałki - analogia do mieszczenia przy dzieleniu lub dzielenia z resztą..."
Córę poprosiłam o wykonanie dla mnie linijki przy użyciu linijki:
Jak myślisz, których liczb (naturalnych) jest więcej na tej linijce: podzielnych przez 2, czy przez 4? Dlaczego?.
Układałyśmy też oś liczbową w świetnej grze:
CardLine. Zwierzęta.
Źródło
Wkrótce kolejny post o osi liczbowej.

******************************
Odpowiedzi do zadań:

Zad 17.
Czterocentymetrowa

Zad 18.
Zarobi 14 złotych, gdyż ostatnie siódme cięcie daje od razu 2 kawałki drewna.

Zad 21.
Użył 13 kamyków.

Zad 22.
Musi zabrać 3 kamyki.