WYSPA 1

Z uczniami klasy 4 spędziliśmy na wyspie Mechania dwie lekcje w ramach przygotowania do kolejnego działu w podręczniku: system dziesiątkowy. Polecam!

https://www.explodingdots.org/g/young-swan-100

Na pierwszej lekcji wykorzystaliśmy ołówek/gumkę/długopis ścieralny i zeszyt.

ź®ódło zdjęcia

     

 Ustawiliśmy jedną maszynę na drugiej:

MNOŻENIE/DZIELENIE/POTĘGOWANIE/KODOWANIE/WZÓR

Praca domowa (10 minut): ćwiczenia z maszyną 2-1 na komputerze/telefonie/tablecie.

https://www.explodingdots.org/g/young-swan-100/station/I1S1

Na drugiej lekcji dzieci samodzielnie pracowały z maszynami 3-1 i 10-1 na tabletach. Podłoże pod system dziesiątkowy przygotowane.
Przy tej okazji wklejam (z poprzedniej wersji bloga)sztuczkę magiczną, którą zamierzam zaprezentować dzieciom przed świętami;)

Jak wypłacić żądaną sumę, nie otwierając kopert zawierających pieniądze?

Odgadnienie z książki Szczepana Jeleńskiego "Śladami Pitagorasa"

"W dziewięciu zaklejonych kopertach znajduje się ogółem 300 zł albo też asygnaty na taką sumę. Zaproponujcie, by ktoś z obecnych wymienił zupełnie dowolnie obraną przez siebie kwotę w liczbach całkowitych (oczywiście mniejszą niż 300 zł). Zdołacie ją wypłacić, nie otwierając ani jednej koperty. Niechaj ktoś inny następnie wymieni inną liczbę - i te wyliczycie natychmiast bez braków lub naddatków pełnymi zamkniętymi kopertami.

Przypuśćmy, iż ktoś zażądał 213 zł. Podajecie mu pięć kopert, które tamta osoba otwiera i znajduje kolejno:

128+64+16+4+1 = 213 zł

Ktoś inny zażądał 293 zł. Teraz nawet nie wybieracie sami, lecz polecacie zdjąć trzy pierwsze koperty; w pozostałych sześciu znajdzie się żądana suma.

Jest to doświadczenie bardzo efektowne, a na niezmiernie prostym oparte pomyśle. Polega ono na specjalnym rozłożeniu różnych kwot w owych dziewięciu kopertach. Trzeba mianowicie w ośmiu kopertach rozłożyć pieniądze w taki sposób:

Koperta I -    1zł

Koperta II -   2zł

Koperta III -  4zł

Koperta IV -  8zł

Koperta V -  16zł

Koperta VI - 32zł

Koperta VII -64zł

Koperta VII - 128zł

W kopercie IX, którą "dla niepoznaki" położyć można nad kopertą I, albo między IV i V, albo w innym obranym przez siebie miejscu, umieszcza się całą resztę pieniędzy, tj. 45 zł.

Doświadczenie to opiera się na znanej zasadzie, że z różnych potęg liczby 2 można zestawić każdą dowolną liczbę nie przekraczającą sumy tych potęg. 

Kwoty zaś rozłożone w ośmiu kopertach istotnie stanowią ciąg:

2 do potęgi 0 = 1

2 do potęgi 1 = 2

2 do potęgi 2 = 4

2 do potęgi 3 = 8 

...

2 do potęgi 7 = 128zł

a więc z zawartości ośmiu kopert zestawić można każdą żądaną liczbę od 1 do 255. Jeśli zaś wymieniona liczba przewyższa 255, to do wypłaty używa się koperty IX z zawartością 45 zł, a różnicę pomiędzy sumą żądaną i 300 złotymi odciąga się przez usuwanie kopert z mniejszymi kwotami.

I jeszcze warto zatrzymać się nad takim pytaniem:

Dlaczego 2 do potęgi 0 równa się 1?

Odpowiedź znalazłam w książce Lary Alcock "Mathematics Rebooted: A Fresh Approach to Understanding" : 

https://laraalcock.wordpress.com/for-everyone/

UŁAMEK DANEJ LICZBY

Przed córą kolejny algorytm: Aby obliczyć ułamek danej liczby mnożymy ułamek przez tę liczbę.
Danuta Zaremba w książce "Jak tłumaczyć dzieciom matematykę" proponuje tak zacząć:

Zaczęłyśmy od powtórki odczytywania czasu na zegarze ze wskazówkami*
Następnie:
M: 1/2 godziny, ile to minut?
R: 30 minut. Podzieliłam godzinę, czyli 60 minut na 2.
M: OK, a 2/3 godziny, ile to minut?
R: 40 minut.
M: OK. Zapisz, jak to obliczyłaś?
R: 60 minut : 3  = 20 minut. 20 minut x 2 = 40 minut.
M: Spróbuj to zapisać w jednym działaniu.
R: (60:3) x 2 = 40

M: Świetnie. A czy widzisz, że to można przekształcić tak... I tutaj nastapiły moje popisy, które doprowadziły do takiej postaci 2/3 x 60. Córa dzielnie przytakiwała.
* Zadania z pieniędzmi ( obliczanie ułamka danej kwoty) nie sprawiały problemu np. 3/4 z 400 zł to (400:4) x 3 = 300,
Postanowiłam inaczej podejść do tematu i wykorzystać kawałek czekolady/pole powierzchni prostokąta.
M: Połowa połowy czekolady?
R:  Ćwiartka.
M: Jak to obliczyłaś? Zapisz działanie.
R: Połowę czekolady podzieliłam na dwie równe części i wyszła mi ćwiartka. 1/2 : 2 = 1/4
M: Dobrze, a teraz narysuj proszę ten obszar na prostokącie i oblicz jego powierzchnię korzystając ze wzoru  na pole powierzchni.

Wygodne narzędzie: https://www.mathlearningcenter.org/resources/apps/fractions

R: 1/2 x 1/2 = 1/4

M: Połowa ćwiartki czekolady?
R: 1/4 : 2  = 1/8
M: Ok, a drugim sposobem? Rysunek też poproszę!
R: 1/2 x 1/4 = 1/8

https://www.mathlearningcenter.org/resources/apps/fractions

M: Ćwiartka połowy czekolady? 1/4 z połowy czekolady?
R: 1/2 : 4 = 1/8 ; lub 1/4 x 1/2 = 1/8. Rysunek ten sam.

https://www.mathlearningcenter.org/resources/apps/fractions

M:  2/4 z 1/2 czekolady?
R:  to 2 razy więcej niż poprzednio, czyli 2/8.
M: Super,,a drugim sposobem?
R: 2/4 x 1/2 = 2/8

M: Ćwiartka ćwiartki czekolady, czyli 1/4 z 1/4? Pamiętaj o rysunku!
R: 1/4 : 4  = 1/16 lub 1/4 x 1/4 = 1/16
M: 2/4 z 1/4, a 3/4 z 1/4, a 4/4 z 1/4?

Pierwszy krok do zrozumienia algorytmu obliczania ułamka danej liczby zrobiony?
Teraz tylko ćwiczyć i ćwiczyć:

•  http://e-matematyk.blogspot.com/2013/12/mathman-oblicza-uamek-danej-liczby.html
• https://donsteward.blogspot.com/search/label/fractions%20of

Przy tej okazji wykorzystałam powyższe przykłady do zadania pytania: Czy coś zauważasz? 
1/2 : 2 = 1/4 ;  1/2 x 1/2 = 1/4
1/4 : 2  = 1/8;  1/4 x 1/2 = 1/8

cdn.

MNOŻENIE UŁAMKÓW

Dla mojej córy tempo przerabiania materiału w szkole jest za duże. W domu zwalniamy i odkrywamy na nowo;) algorytmy. Teraz zajmujemy się ułamkami - działem sprawiającym dzieciom trudności.
Jednym ze sposobów dochodzenia do algorytmu mnożenia ułamków jest wykorzystanie pola powierzchni prostokąta. 
Zaczęłyśmy od przypomnienia, co to jest prostokąt? 
To czworokąt, którego wszystkie kąty są kątami prostymi. Czyli kwadrat też jest prostokątem.
Potem powtórka (z wykorzystaniem kwadratowych karteczek), jak oblicza się pole powierzchni prostokąta? Przy okazji pojawia się przemienność mnożenia - wiedza niezbędna przy skracaniu ułamków.

6 x 1 = 6

2 x 3  = 3 x 2  = 6

Prośba o zapisanie swoimi słowami wzoru na obliczanie pola powierzchni prostokąta:
bok x bok  = pole powierzchni prostokąta 
UWAGA: Czy mnożymy dowolne dwa boki prostokąta przez siebie?
I kolejne zadania:
M: Jakie jest pole powierzchni tego kwadratu? Przyjmij, że długość jego boku wynosi 1.
R: 1
M: Jak to obliczyłaś?
R: 1 x 1  = 1

Kwadrat jednostkowy.

M: Weź kwadrat i  podziel go na dwa równe prostokąty. Jakie pole powierzchni ma ten prostokąt?

R: 1/2
M: Jak to obliczyłaś?
R: 1 podzieliłam przez 2.
M: Ok. A z wykorzystaniem wzoru na pole powierzchni?
R:  1/2 x 1  = 1/2
M: Zrób rysunek i obliczenia na kartce. 
Zginając kwadrat otrzymaj 1/4 jego pola powierzchni. Jakie długości boków ma zamalowany przez Ciebie prostokąt? Zrób rysunek na kartce i wykonaj obliczenia wykorzystując wzór na pole powierzchni prostokąta.

1/2 x 1/2  = 1/4

A teraz zaznacz 1/8 pola powierzchni kwadratu:

1/2 x 1/4 = 1/8

Kolejny krok - tylko rysunek i obliczenia.

• Na kartce zaznacz 3/8 powierzchni kwadratu. Jak można obliczyć pole powierzchni tej części?

Córa zamalowała 3/8 w ten sposób:

2/2 x 2/4 = 4/8

Zamalowana powierzchnia nie jest prostokątem. Córa wybrnęła tak: obliczyła pole powierzchni większego prostokąta (4/8) i odjęła tyle, ile było trzeba.

•  Zilustruj działanie: 3/4 x 3/4. Oblicz.

 

itd.
Z liczbami mieszanymi np. 1 1/2 x 1/2 córa też sobie poradziła.

Wniosek/algorytm mnożenia ułamków: licznik x licznik i mianownik x mianownik.

Na koniec: PAMIĘTAJMY O SKRACANIU

Danuta Zaremba "Jak tłumaczyć dzieciom matematykę"

I wpis z poprzedniej wersji bloga:
Jeśli kogoś dręczy pytanie:

Dlaczego nie mogę dodawać ułamków, tak jak je mnożę?

Pan Ian Stewart w swojej książce "Gabinet matematycznych zagadek", część II daje taką odpowiedź:
"Właściwie możesz, jeśli chcesz - to wolny kraj. Podobno. Ale nie otrzymasz prawidłowej odpowiedzi."
 2/5 * 3/7 = 2*3/5*7 = 6/35 - to jest OK
2/5 + 3/7 = 2+3/5+7 = 5/12 - to nie jest OK
"Ponieważ 3/7 to prawie 1/2, podobnie jak 2/5, to kiedy dodajemy te ułamki, wynik musi wynosić co najmniej 1/2. Ale 5/12 to mniej niż 1/2, bo połowa 12 to 6. Błąd staje się jeszcze bardziej rażący, kiedy spróbujemy z  1/2 + 1/2, ponieważ:
1/2 + 1/2 = 1+1/2+2 = 2/4
nie ma sensu: przecież 2/4 = 1/2, więc taki rachunek mówi nam, że 1/2 + 1/2  = 1/2"
"Najłatwiej zrozumieć, dlaczego zasady dla tych dwóch działań są różne - i jakie być powinny - za pomocą obrazków..."
Julia przygotowała obrazki.
Żeby je zrozumieć , trzeba pamiętać, że:
1 cm * 1 cm = 1*1 cm*cm = 1 centymetr kwadratowy
2 cm * 3 cm = 6 centymetrów kwadratowych
Centymetry kwadratowe to jednostki powierzchni. 
6 centymetrów kwadratowych oznacza pole prostokąta o bokach np. 2cm i 3 cm.

• rysunek na górze przedstawia wynik mnożenia 2/5 * 3/7 = 2*3/5*7 =6/35

Pionowa kreska składa się z pięciu równych części.
2/5  - to dwie części z pięciu, stąd zaznaczone na niebiesko 2 części.
Pozioma kreska podzielona jest na siedem części.
3/7 - to trzy części z siedmiu, czyli zaznaczone są na niebiesko 3 części. 
Pole prostokąta otrzymujemy przez pomnnożenie dwóch boków. 
Duży prostokąt  składa sie z 5 * 7 = 35 kwadratów.
Mały - niebieski prostokat to 2*3  = 6 kwadratów. 
Mały prostokąt stanowi 6/35 dużego. 

•  rysunek na dole przedstawia wynik dodawania 2/5 + 3/7 = 29/35

2/5 - to dwie części z pięciu - na różowo zaznaczamy dwa górne rzędy z pięciu dostępnych.
3/7 - to trzy części z siedmiu - na niebiesko zaznaczamy trzy kolumny z siedmiu dostępnych.
Część obszaru zaznaczonego na niebiesko i różowo zachodzą na siebie.
Teraz liczymy pokolorowane kwadraty:
14 kwadratów dają dwa górne rzędy (2 * 7), a 15 kwadratów dają trzy kolumny (3 * 5), co daje w sumie 29 pokolorowanych kwadratów z 35 (5 * 7) istniejących.
Otrzymujemy stąd zasadę dodawania ułamków (sprowadzanie do wspólnego mianownika) : 2/5 + 3/7 = 2*7 + 3*5/ 5*7 = 29/35