środa, 30 stycznia 2013

ZŁUDZENIA

Przez ostatni tydzień ulegałyśmy złudzeniom optycznym
Która porcja jest większa?
Rita wybrała naleśniki na mniejszym talerzu. Uwierzyła, że porcje są takie same po ułożeniu czterech naleśników - jeden na drugim.
  • Czy środkowe koła są równe? Jak to sprawdzić?
Zwodnicze oddziaływanie kontrastu otoczenia
Rita wybrała "większy" plasterek kiwi. Nie od razu wpadła na pomysł porównania okrągłych plasterków poprzez położenie jednego na drugi. Oba plasterki kiwi były takie same.
  • Który odcinek jest dłuższy?
Odcinki równoległe i równe
Dowód złudzenia
  • Czy odległość między dziobami pierwszej i drugiej jaskółki jest większa niż odległość między dziobami drugiej i trzeciej jaskółki?

Pomiar linijką, liczenie kratek - nie przekonało Rity, że dzioby jaskółek są w równych odległościach.
  • Kto jest większy: Pan Banan, czy Pani Bananowa? 

 A teraz?

 A naprawdę?
  • Jakie figury widzisz?
Trójkąt Kanizsy
  • Magiczne pudełeczka
 Prostopadłościan 2D. Pomalowanie jednej ścianki - wrażenie 3D
Julian Beever
  • Policz ile kostek sześciennych jest na tym rysunku?
Rita otrzymała 7, a Julia 8 sześcianów - obie mają rację!
  • ile koni jest na tym obrazku?

Ze strony z iluzjami dla dzieci: KID'S PAGES
  •  węże, które nie mają prawa się ruszać, a jednak!

    źródło
  • praktyczne zastosowania złudzeń - poszukiwania trwają. 

    Będę wdzięczna czytelnikom za przykłady wykorzystania złudzeń optycznych w otaczającym nas świecie.

***********************************************
 Cieszę się, że zajrzałaś do mnie Grażko razem z watażką.

 ***********************************************
Od Lashe dostałam adres strony, na której złudzenia są gotowe do druku:
THE CRAFTY CLASSROOM
Przeszukując internet, sporo czasu spędziłam na stronie MIGHTY OPTICAL ILLUSIONS, z której pochodzą te dwa przykłady:
podłoga 3D
hypnose-sofa

I na koniec trzeci przykład iluzji: Guliwer i Liliput w pokoju Amesa, do którego wkrótce zajrzę w Centrum Nauki Kopernik.

A tymczasem kolejny raz oglądamy film Charlie i fabryka Czekolady, zastanawiając się, w którym miejscu wykorzystano w nim pokój Amesa.

czwartek, 24 stycznia 2013

KRÓLOWA ŚNIEGU

Zasmarkana Rita nieustannie pyta: Mamo, kiedy mi zrobisz dalej przedstawienie?
Matka: Za chwilę, w tym czasie przygotuj: karocę, konie, rozbójnika i jego córę, renifera...
Gerda w karocy żegnana przez leśną wronę.
Na kolanach trzymam "Królową Śniegu" pana Jana Christiana Andersena, w dłoniach zmieniających się bohaterów, którzy przemawiają pięknymi (wybranymi przeze mnie) zdaniami z książki. Często przerywa mi śmiech córy - efekt uboczny przedstawienia - w czasie infekcji bardzo pożądany. Oprócz przedstawienia były doświadczenia: 
  •  Opowiadanie drugie: Chłopczyk i dziewczynka
"... Jego zabawy zmieniły sie teraz całkowicie; stały się takie mądre. Pewnego zimowego dnia, kiedy prószył snieg, przyniósł sobie wielkie powiększające szkło, rozpostarł połę swego granatowego płaszczyka i zgarnął na nią płatki śniegu.     - Spójrz no w szkło, Gerda! - powiedział. Każdy płatek śniegu powiększał się w szkle i wyglądał jak piękny kwiat lub sześciokątna gwiazda; był to wspaniały widok."
Rękawica na kiju od szczotki - do łapania przez okno płatków śniegu.
 Niestety doświadczenie nam nie wyszło - płatki w temperaturze pokojowej natychmiast się rozpuszczały. Oglądałyśmy je więc na blogu Z MATEMATYKĄ ZA PAN BRAT. Na pocieszenie znalazłam świetne doświadczenie u BUBY.
Było 12 kostek lodu, teraz jest o jedną mniej, czyli 11
Tym razem doświadczenie nam się udało.
"...Kay spojrzał na nią; była bardzo ładna; nie mógł sobie wyobrazić mądrzejszej i piękniejszej twarzy; teraz nie wydawała mu się już z lodu jak przedtem, kiedy ją widział za oknem; gdy kiwała do niego; w jego oczach byłą doskonałością, nie bał się wcale, opowiedział jej, że potrafi rachować z pamięci i nawet z ułamkami, że wie ile kwadratowych mil liczy kraj i ile ma kraj mieszkańców..."

Rita starała się liczyć w pamięci: 2+2+2 = 6
Pierwszy bałwan składa się z 2 "kul", każdy następny ma o 2 "kule" więcej.
3 bałwany i dwa razy więcej (czyli 6)  pingwinów w sumie daje 9 postaci odciśniętych palcem.
Ja starałam się pokazać córce jak dużą liczbą jest miliard. Natknęłyśmy się na nią odczytując zawartość małej kapsułki z bakteriami kwasu mlekowego. O bakteriach już było TUTAJ i TUTAJ. Załóżmy, że bakteria jest małą, grzeczną kropką, która ustawia się w rzędzie jedna obok drugiej - tak jak na tej kartce poniżej:
 50 rzędów, a w każdym 200 kropek to 10.000 kropek
Wtedy na jednej kartce mieści się 10 tysięcy kropek. Niech gruba książka ma tysiąc stron. Pomieści ona 10 milionów kropek. Potrzebujemy więc 100 takich grubych książek!
Bakterie mlekowe są dużo mniejsze niż kropka na papierze.
Mam wątpliwości, czy Rita to pojęła, ale Julia tak.  
  •   Opowiadanie piąte: Mała rozbójniczka
" ... Właśnie! Właśnie! Czy wiesz, gdzie leży Laponia? - spytała Rena.
-  Któż ma lepiej wiedzieć ode mnie? - powiedziało zwierzę, a oczy mu zabłysły. - Tam się urodziłem i wyrosłem, tam skakałem na polach..." 
3-2-1 Contact: Arctic / Antarctic
  • Opowiadanie siódme: Co się działo w pałacu Królowej Śniegu i co później się stało
"... Chodził i zbierał płaskie, ostre kawałki lodu, które składał w ten sposób, aby coś z nich wyszło, zupełnie tak samo jak my, kiedy z kawałków drzewa składamy figury, co się nazywa chińską grą..."

 A teraz chciałabym powitać dwie nowe członkinie Mamatyki:
******************************************************
Witam Cię, Asiami i Ciebie, Adriano, bardzo ciepło!
******************************************************
 Dla wszystkich czytelników znalazłam TUTAJ ciekawą odpowiedź na pytanie:  Ilu mamy przodków?

A dla kilkuletnich dzieci znalazłam (polecaną przez Panią Zorro) książkę, która  nam się spodobała, a przodków rozczuliła - "Zimowa wyprawa Ollego" - w której poznajemy Króla Zimy, Wuja Szrona, Ciotkę Odwilż i Księżniczkę Wiosnę.
Na zakończenie 4 zdjęcia Magdy z wyprawy w polskie góry:



czwartek, 17 stycznia 2013

ZAGADKI

Bardzo lubimy wymyślać zagadki - krótsza staje się wtedy droga do celu. Któregoś dnia po drodze z przedszkola:
Matka: Co ma dwa koła i jeszcze dwa małe kółka, i jest zielone?
Rita: Mój rower. Mamo, a ile to jest dwa dodać dwa dodać dwa, no trzy razy po dwa?
Matka - dumna, że Rita sama powiązała dodawanie z mnożeniem, sprawdza córę - mówi: 4.
Rita: Nie, to jest 6.
Matka: Masz rację, trzy razy biorę sobie po dwa orzeszki, czyli 6. A dwa razy dwa?
Rita: 4.
Matka: Świetnie, a jeden razy dwa?
Rita: 3.
Matka: Posłuchaj uważnie pytania: raz biorę sobie dwa orzeszki, to ile mam orzeszków?
Rita: 2.
Nadszedł czas na proste mnożenie:
3+3+3 = 3 *3 = 9
3 "paluszki" u jednej nóżki i 3 "paluszki" u drugiej nóżki to 2 razy 3 = 6. Obok odcisk kociej łapki.
Rita ma 5 + 5 + 5 + 5 paluszków (u rąk i u nóg,) czyli 4*5. Ile "paluszków" ma ptak, a kot, a pies?
Czy ptaki mają palce? Postanowiłam to sprawdzić w książce, którą poleca pan Wojciech Mikołuszko: "Moi skrzydlaci pacjenci", autor: Andrzej G. Kruszewicz.
Sherlock Rita wkracza do akcji.
Odciski...

Foremki, śnieg i matematyka
Zagadki to takie zadania z treścią. A zadania z treścią dzieciom sprawiają problemy. Jak temu zaradzić, jak to zmienić? 
  • Fajnie do tego podeszła Nina Natalia - trzeba kliknąć TUTAJ! 
"...Właśnie to wydarzenie było przełomem w kwestii zadań z treścią. Otworzyły mi się drzwi, za nimi kolejne, za nimi kolejne; poczułam się jak pomysłowy Dobromir z żarówką nad głową..."
  • Ośrodek Rozwoju Edukacji wydał  ciekawy poradnik pt. "Rozwijanie zainteresowań i zdolności matematycznych uczniów klas I – III szkoły podstawowej. Poradnik dla nauczyciela" - warto przeczytać klikając TUTAJ!
Mnie zaciekawił rozdział II: Rozwijanie zainteresowań i zdolności matematycznych uczniów na I etapie edukacyjnympraktyczne rozwiązania. A w nim:

1. Metoda MSB–Matematyczne Stacje Badawcze .
2. Metoda projektu – „Matematyka w obserwacjach pogody”.
3. „Fantasmagorie matematyczne” – program zajęć pozalekcyjnych .
4. Rodzinna matematyka w klasie szkolnej .
5. Matematyka w terenie. 
6. Rym, rytm, ruch w edukacji matematycznej.
7. Geometria dla najmłodszych.
8. Twórcze rozwiązywanie problemów.  
9. Gry i zabawy.
10. Zadania tekstowe.
11. E-matematyka

Na stronie 90 tego poradnika, pani Wiesława Odrobina wyjaśnia m.in.:
  • dlaczego warto rozwiązywać zadania tekstowe,
  • w jaki sposób uczyć dzieci rozwiązywać zadania - podane są strategie postępowania,
  • istnienie w dydaktyce matematyki różnych podziałów zadań,
  • jak przygotować dzieci do układania zadań z treścią, gdyż dzieci chętniej i lepiej rozwiązują zadania, które ułożyły samodzielnie, niż zadania gotowe.
Do ćwiczeń z Ritą wybrałam sobie taki przykład:  
"Układamy zadania tekstowe o domownikach”
Potrzebne materiały: pojemnik (pudełko) dla każdego ucznia, kartki z imionami domowników, drobne przedmioty przyniesione przez dzieci z domu (maskotka, krawat, książka, gazeta, szpulka nici, owoc itp.).
Uczniowie umieszczają w pojemniku karteczki z imionami domowników. Obok pudełka układają przyniesione z domu przedmioty. Zabawa polega na wybraniu jednego z przedmiotów, wylosowaniu imienia domownika i ułożeniu ciekawego zadania tekstowego. Zadaniem pozostałych uczestników zabawy jest rozwiązanie zadania.
Zapraszam do dzielenia się zadaniami tekstowymi o domownikach - chętnie je na blogu umieszczę. 
Dotychczas oficjalnie obserwowało mój blog 13 osób, od wczoraj to się zmieniło:
**********************************************************
Witam Cię serdecznie Aniu. Jesteś dla mnie zagadką.
**********************************************************
Na zakończenie  zapraszam - już po raz drugi  - na ulubioną piosenkę Rity: "3 is a magic number". Dzięki niej Rita zna wynik mnożenia 3 przez: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 , 9, 10. Tylko jeszcze o tym nie wie.


Ps. Czytając dziś gazetę, znalazłam taką informację:
Na podstawie nowych norm żywieniowych Zakład Żywienia Instytutu Matki i Dziecka opublikował praktyczny poradnik żywienia dzieci w wieku od 1. do 3. roku życia. Poradnik ten jest pierwszym kompleksowym źródłem informacji dla rodziców/opiekunów, który w przystępny, a zarazem merytoryczny sposób podaje zasady prawidłowego żywienia małego dziecka. Wyniki badań dotyczące sposobu żywienia dzieci pokazują, że zdecydowana większość rodziców popełnia wiele błędów w żywieniu swoich dzieci, stąd idea opracowania takiej publikacji. Poradnik można już bezpłatnie pobrać ze strony Instytutu.

środa, 9 stycznia 2013

FLEXILIS

Dzisiejszy wpis powstał pod wpływem komentarza BUBY  - która jest świadoma poprawności potocznego stosowania zwrotu: dzielić na pół  - w przeciwieństwie do mnie. Oto fragment:
" ... Ja zwracam jeszcze uwagę na to, by mówić "podzielić na połowy/na połówki" (a nie "na pół", bo jak mówi moja córka "na jedno pół się nie da" ;-) ..."
 
Moja znajomość języka polskiego pozostawia niestety wiele do życzenia, więc wołam Julię (która lubi zgłębiać tajniki gramatyki i ma za zadanie sprawdzać poprawność wypowiedzi Matki) i pytam się jak to jest z tym podziałem na pół? 
Usłyszałam taką odpowiedź: jest to zwrot potoczny, który oznacza "podzielić na dwie równe części".
Zajrzałam więc do słownika języka polskiego PWN, w którym tylko znalazłam:
  • dzielić coś pół na pół
  • podzielić coś na połowę
  • dzielić na części
Od dziś będę więc dzielić jabłko na dwie równe części, dzięki czemu otrzymam dwie połowy, a od razu zjem sobie pół jabłka, zamiast czekolady.
Ta gorzka czekolada składa się z nieparzystej liczby jednakowych kawałków (5+5+5 lub 3+3+3+3+3, lub 5x3)
Do Rity przyszła o rok starsza koleżanka Zofia. Obiecałam im, że samodzielnie przygotują deser, a ja wymyślę zadanie dla każdej z nich oddzielnie. Brzmiało ono tak: 
Wymyśl sposób podzielenia tabliczki czekolady (umieściłam jej zdjęcie) na dwie równe części. 
Każda z dziewczynek (po kolei) szła z czekoladą w ręku do pokoju Julii i tam przekazywała swój pomysł sprawiedliwego podziału. Ponieważ oba sposoby były dobre, lecz różne, dziewczynki miały opowiedzieć je na głos.
Sposób Rity (polegał na prowadzeniu linii podziału palcem): 
dzielimy czekoladę pionowo bądź poziomo na połowę "na oko"
Sposób Zofii: 
każdy dostanie jeden długi pasek (5 kostek) + 2 kostki ze środkowego paska, a ostatnią czekoladkę trzeba podzielić na połowę.
Gdy Zofia podała swoje rozwiązanie, Rita woła, że wymyśliła jeszcze inny sposób: 
każdy dostanie jeden długi pasek (5 kostek), a każdą kostkę ze środkowego paska przełamiemy na dwie połówki.  
I to nie był ostatni sposób, na jaki wpadły dziewczynki!  
Julia też dostała zadanie do rozwiązania: Jaś i Małgosia chcą podzielić czekoladę 4×4 kawałki na dwie identyczne części, rozcinając ją nożem wzdłuż rowków, ale niekoniecznie po linii prostej. Ile jest różnych kształtów połów, które mogą uzyskać? Proszę spróbować!
Ciekawe jak poradzi sobie z nim 13 członek MAMATYKI, którego pragnę powitać:
*********************************************
Zapraszam Cię OLU do wspólnej zabawy
**********************************************
Po sprawdzenie odpowiedzi zapraszam TUTAJ . 
A oto deser, który miał być trochę inny, ale brak składników nas nie zraził:
6 kół do równego podziału między dwie dziewczynki

Czekolada po kąpieli wodnej
Proszę jeszcze zwrócić uwagę na różnicę pomiędzy:
  • dzielić przez dwa , a dzielić przez pół (oznacza to samo, co mnożenie przez dwa)
Na tej stronie znalazłam zabawne wytłumaczenie tej różnicy:
"Twoim zdaniem podzielenie NA pół to to samo co podzielenie PRZEZ pół? ... kiedy mama mówi Ci: "Majchereczku, kochanie - podziel kiełbachę na pół" to bierzesz drugą i kładziesz obok czy bierzesz nóż i ją przecinasz?"
A tutaj pani Anna Ligocka tłumaczy dzielenie przez pół:
"... Znacznie trudniej zrozumieć uczniom sens dzielenia 6 : 1\2. Można się oczywiście nauczyć, że jak dzielimy przez ułamek, to mnożymy przez jego odwrotność, ale jaki jest sens takich rachunków: 6 jabłek podzielić na pół kupki? Sprawę utrudnia jeszcze skojarzenie z potocznym zwrotem "podzielić na pół", który oznacza "podzielić na dwie równe części", a nie "pomnożyć przez dwa".
Ale i tutaj możemy znaleźć sensowną interpretację. Wprawdzie nie można podzielić sześciu jabłek na pół kupki, ale można podzielić jabłka na porcje po pół jabłka w porcji. I takich porcji będzie oczywiście 12, czyli 6 : 1\2. Podobnie jeśli podzielimy trzy jabłka na porcje po 1\4 jabłka, to takich porcji będzie 3 : 1\4 = 12..."
Na koniec rozważań "o języku" przytoczę fragment ze strony "Językowe grzechy główne":
"...Dbałość o poprawność języka nie tylko matematycznego, ale przede wszystkim języka polskiego, jest obowiązkiem każdego z nas, a zwłaszcza każdego nauczyciela - także matematyki. Powinien wymagać tej poprawności od siebie i zadbać o zaszczepienie jej wśród uczniów. Niestety bardzo często nasze błędy wynikają z językowej niechlujności. Oto lista grzechów najczęściej popełnianych na lekcjach matematyki..."

O tym, że grzeszę, mówiąc "dwa ostatnie", "trzy pierwsze" zamiast ostatnie dwa, pierwsze trzy dowiedziałam się niedawno.
Parę dni temu córa wraca z przedszkola i mówi: "nie podoba mi się jeden reguł", poprawiam ją: " jedna reguła". Nie chciała się ze mną zgodzić, dopiero siostrze udało się ją przekonać. Hmm...
Zbliżam się już do końca wpisu. Jeszcze tylko podzielę się moim pomysłem na wizytówkę. Fleksagon to dobry wybór, bo:
"...Fleksagony to rodzina figur, które odpowiednio złożone z płaskiej kartki papieru mogą wskutek obracania pokazać nam cztery lub więcej „twarzy” (zamiast dwóch)..."
"...Popularyzatorem fleksagonu był Martin Gardner...". Proszę zajrzeć koniecznie TUTAJ.
Wybrałam prosty fleksagon, ze strony pana Arvinda Gupty, gdyż wymaga złożenia kartki na pół. Po pierwszym złożeniu trzeba otrzymać prostokąt a nie trójkąt.


Duży kwadrat miał 16 małych kwadratów, wycięto 4, zostało...


czwartek, 3 stycznia 2013

50/50

Siostry dbają o siebie, a ja to wykorzystuję  - do nauki ułamków oczywiście.
Rita dostała piękny prezent od Weroniki: dwa własnoręcznie przez nią zrobione koniki. Podzieliła się z siostrą:
Gdy dostała cztery flamastry z błyszczącym brokatem od Kamilki, podzieliła je sprawiedliwie - pół dla Rity, pół dla Julii. Każda dostała dwa całe flamastry. Gdy na talerzu zostaje ostatnia grzanka, a obie córy są nadal głodne, dzielą ją na dwie równe części - połówki. Gdy podział jest ewidentnie nierówny (kawałki są różnej wielkości) wywiązuje się ciekawa dyskusja.
Pan Adam Miziołek w czasopiśmie "Matematyka w szkole" radzi oswajać ułamki tak:
"... Liczba naturalna dla każdego coś oznacza, kojarzy się z ilością. Ułamek wielu dzieciom nie kojarzy się z niczym konkretnym. A więc przede wszystkim musimy utworzyć w ich umysłach model ułamka, konkretne wyobrażenie. Jeśli ono powstanie, sposoby wykonywania działań staną się oczywiste (a przynajmniej zrozumiałe). Jak zobrazować ułamek?..."
U nas wygląda to tak:

  • najpierw kroję jedno jabłko na 2 części. Za pierwszym razem są to 2 różne części (większa, mniejsza). Rita zjada większy kawałek jabłka niż ja. Następnie staram się podzielić jabłko na dwie równe części, którymi się dzielimy - każda z nas dostała tyle samo, czyli pół jabłka. 
Jedno jabłko to 2 połówki, dwa jabłka to 4 połówki...
Mam nadzieję, że Rita zapamięta, iż dwie połowy tworzą jedną całość, co ułatwi jej zrozumienie szkolnego zapisu:  1 = 1/2 + 1/2 = 2/2
  •  następnie wykorzystuję połówki jabłek do otrzymania całych jabłek:
3 połówki jabłka to jedno całe jabłko i pół jabłka.
4 połówki  jabłka to 2 całe jabłka
Rita liczy połówki (2,4,6,8,10), potem składa z nich całe 5 jabłek
Tu mam pewność, że zabawa ta ułatwi w przyszłości Ricie dodawanie ułamków (o tych samych mianownikach) oraz ich mnożenie:  1/2 +1/2+1/2+1/2 = 4/2 = 4:2 = 2 lub 4*1/2 =2
Na koniec Rita dostała zadania do rozwiązania:
  • Oto trzy jabłka do równego podziału między Ciebie i siostrę. Jak je podzielisz?

 Odpowiedź Rity: jedno jabłko dla Julki, jedno dla mnie, a  jedno trzeba podzielić na pół.
Półtora jabłka to jedno całe jabłko i jeszcze pół.

  • Sprawdź proszę, co jest cięższe: cały owoc, czy jego połowa i dlaczego?
Rita znów staje się wagą. Całość jest większa i cięższa dwukrotnie.
  • Czy zawsze połowy są sobie równe?


  • Czy możesz podzielić sprawiedliwie jedno jabłko pomiędzy dwie osoby bez jego krojenia? Rita: Nie.
    Czy możesz podzielić sprawiedliwie dwa jabłka pomiędzy dwie osoby bez ich krojenia? Rita: Tak, każdy dostanie po jednym jabłku.
    Czy możesz podzielić sprawiedliwie trzy jabłka pomiędzy dwie osoby bez ich krojenia? Rita: Nie.
    A gdybyś mogła kroić jabłka? Czy teraz podzielisz sprawiedliwie jabłka?
    Rita: Tak, trzeba jedno przekroić na pół. Każdy dostanie jedno jabłko i jeszcze pół.
    Byłam zdumiona, bo Rita dzieliła te jabłka w pamięci! Chciałam sprawdzić z iloma jabłkami da sobie radę. Doszłam do 8! Przy dziewięciu jabłkach usłyszałam:
    Mamo, wolę podzielić 10 jabłek. Pokazuje palce u obu rąk. Każdy dostanie po 5.
    Brawo Rita!
    W szkole nie powinna mieć kłopotu ze zrozumieniem hasła: PARZYSTOŚĆ LICZB
W nagrodę czekało nas wspólne przygotowanie i konsumpcja sałatki owocowej.
Połowę owocu kroimy na pół i jeszcze raz na pół, i ponownie na pół...
I oczywiście lekcja angielskiego:
Dla osób czujących niedosyt, zapraszam do Khan Academy - z polskim lektorem i napisami w języku polskim. Znaleźć tam można min. odpowiedź na pytanie: co to są ułamki, co wyobrażają i do czego służą. Wystarczy kliknąć i poszukać: ARYTMETYKA - UŁAMKI
A jeśli kogoś dręczy pytanie: 
Dlaczego nie mogę dodawać ułamków, tak jak je mnożę?
Pan Ian Stewart w swojej książce "Gabinet matematycznych zagadek", część II daje taką odpowiedź:
"Właściwie możesz, jeśli chcesz - to wolny kraj. Podobno. Ale nie otrzymasz prawidłowej odpowiedzi."
 2/5 * 3/7 = 2*3/5*7 = 6/35 - to jest OK
2/5 + 3/7 = 2+3/5+7 = 5/12 - to nie jest OK
"Ponieważ 3/7 to prawie 1/2, podobnie jak 2/5, to kiedy dodajemy te ułamki, wynik musi wynosić co najmniej 1/2. Ale 5/12 to mniej niż 1/2, bo połowa 12 to 6. Błąd staje się jeszcze bardziej rażący, kiedy spróbujemy z  1/2 + 1/2, ponieważ:
1/2 + 1/2 = 1+1/2+2 = 2/4
nie ma sensu: przecież 2/4 = 1/2, więc taki rachunek mówi nam, że 1/2 + 1/2  = 1/2"
"Najłatwiej zrozumieć, dlaczego zasady dla tych dwóch działań są różne - i jakie być powinny - za pomocą obrazków..."
Julia przygotowała obrazki.
Żeby je zrozumieć , trzeba pamiętać, że:
1 cm * 1 cm = 1*1 cm*cm = 1 centymetr kwadratowy
2 cm * 3 cm = 6 centymetrów kwadratowych
Centymetry kwadratowe to jednostki powierzchni
6 centymetrów kwadratowych oznacza pole prostokąta o bokach np. 2cm i 3 cm.

  • rysunek na górze przedstawia wynik mnożenia 2/5 * 3/7 = 2*3/5*7 =6/35






Pionowa kreska składa się z pięciu równych części.
2/5  - to dwie części z pięciu, stąd zaznaczone na niebiesko 2 części.
Pozioma kreska podzielona jest na siedem części.
3/7 - to trzy części z siedmiu, czyli zaznaczone są na niebiesko 3 części. 
Pole prostokąta otrzymujemy przez pomnnożenie dwóch boków. 
Duży prostokąt  składa sie z 5 * 7 = 35 kwadratów.
Mały - niebieski prostokat to 2*3  = 6 kwadratów. 
Mały prostokąt stanowi 6/35 dużego.  






  •  rysunek na dole przedstawia wynik dodawania 2/5 + 3/7 = 29/35
2/5 - to dwie części z pięciu - na różowo zaznaczamy dwa górne rzędy z pięciu dostępnych.
3/7 - to trzy części z siedmiu - na niebiesko zaznaczamy trzy kolumny z siedmiu dostępnych.
Część obszaru zaznaczonego na niebiesko i różowo zachodzą na siebie.
Teraz liczymy pokolorowane kwadraty:
14 kwadratów dają dwa górne rzędy (2 * 7), a 15 kwadratów dają trzy kolumny (3 * 5), co daje w sumie 29 pokolorowanych kwadratów z 35 (5 * 7) istniejących.
Otrzymujemy stąd zasadę dodawania ułamków (sprowadzanie do wspólnego mianownika) : 2/5 + 3/7 = 2*7 + 3*5/ 5*7 = 29/35

To już cały dzisiejszy wpis.