Rodzinna matematyka

poniedziałek, 12 września 2016

TABLICZKA MNOŻENIA cz.4

Przez wakacje pamięciowe opanowanie tabliczki możenia uleciało z wiatrem. Na szczęście strategie rachunkowe zostały. Podczas dzielenia córa korzysta z mnożenia. Dobrze radzi sobie z mniejszymi liczbami, gdyż je pamięta. Czas przypomnieć sobie całą tabliczkę mnożenia. Zanim posadzę córę przy tablecie (Klik1 i Klik2) - poćwiczymy razem. Dzięki Pani Ani mogłam przeczytać książkę:
 Rob Eastaway & Mike Askew "MATHS ON THE GO"
Źródło zdjęcia
Znalazłam w niej świetne pomysły:
  • grę Bean Grab 
Potrzebna jest fasolka lub inne drobne przedmioty oraz kartka z długopisem. Celem gry jest zdobycie jak największej liczby punktów.Pierwszy gracz bierze garść fasoli, (ja dodałam: szacuje) i liczy, ile ich ma.


20 koralików
Nastepnie dzieli fasolę na wne/jednakowe kupki bez reszty. Jeśli 20 fasolek podzielimy na trzy kupki dostaniemy po 6 fasolek w każdej kupce, a 2 fasolki będą resztą, której miało nie być. 
Uwaga:W jednej kupce muszą być przynajmniej 2 fasolki. Nie ma wtedy jednego dzielenia: liczby przez samą siebie np. 20 : 20 = 1 
Parzysta liczba dzieli się przez 2, czyli 20:2 =10; 2x10 = 20
Jeśli pierwszy gracz znajdzie sposób podziału fasoli na równe części zapisuje sobie 2 punkty. Teraz kolej na drugiego gracza. Szuka innego sposobu podziału tej samej liczby fasolek, czyli 20.
20:10 = 2; 10 x 2 = 20
Drugi gracz też zdobywa dwa punkty. Kolej na pierwszego gracza:
20:5 = 4; 5 x 4 = 20
Pierwszy gracz ma już na koncie 4 punkty. 
Uwaga: liczba punktów za każdym razem się podwaja!
Drugi gracz nie widzi innego sposobu podziału, pałeczkę przejmuje pierwszy gracz i znajduje swój trzeci i ostatni sposób:
20:4 = 5; 4 x 5 = 20
Zdobywa 8 punktów, bo 2 x 4 = 8 i wygrywa z drugim graczem, który znalazł tylko jeden sposób podziału. Po wyczerpaniu wszystkich możliwości podziału, drugi gracz bierze garść fasolek i gra toczy sie dalej. Jeśli przypadkiem gracz weźmie 17 fasolek - traci kolejkę, bo 17 jest liczba pierwszą, czyli nie można jej podzielić na równe części zgodnie z założeniami tej gry: w jednej kupce muszę być przynajmnej 2 fasolki. Działanie 17:1 = 17 to wciąż ta jedna kupka z 17 fasolkami:)
Uwaga: Im większa liczba fasolek, tym więcej możliwości. Liczba graczy nie musi ograniczać się do 2.
  • rozmowę Dog Years, czyli przeliczanie lat psa (i innych zwierząt) na lata ludzkie i odwrotnie. Wykorzystywanie mnożenia i dzielenia.
W uproszczeniu:
1 rok życia psa to 7 lat życia człowieka.
1 rok życia kota to 6 lat życia człowieka.
1 rok życia złotej rybki to 10 lat życia człowieka
1 rok życia chomika to 35 lat życia człowieka

Wersja bardziej skomplikowana:
Pierwszy rok psa = 12 lat ludzkich
Drugi rok psa = 12 lat ludzkich
Pozostałe lata: każdy jeden rok to 4 lata ludzkie.

Jeśli pies ma 5 lat, to po obliczeniach na lata ludzkie ma 5 x 7 = 35 lat w wersji uproszczonej, a 36 lat  ( 2 x 12 + 3 x 4 ) w drugiej wersji.

********************
Tabliczkę mnożenia wykorzystałyśmy też podczas układania wzoru (ze wszystkich 64 trójkątów) - to ten pierwszy w lewym górnym rogu zdjęcia:

MOZAIKA BIAŁO CZARNA
Obserwowałam dzieci. Nie zastanawiają się, ile potrzebują czarnych małych trójkątów  do ułożenia czterech dużych trójkątów. Biorą małe trójkąty i układają z nich duży trójkąt  - najczęściej z 9 klocków. Gdy ułożą dwa takie trójkąty (leżące na tym samym boku kwadratowej ramki) okazuje się, że jest za mało miejsca. Zostało tylko 14 klocków - po 7 na pozostałe dwa trójkąty.
Wtedy szukają innego rozwiązania.
Liczą wszystkie małe czarne trójkąty:
Kwadraty 4 x 4 = 16; trójkąty 16 x 2 = 32.
Te same kwadraty w słońcu stają się kostkami.
Dzie te wszystkie trójkąty na 4 równe części i próbują ułożduży trójkąt z 8 małych trójkątów.
32 : 4 = 8
Pierwszy trójkąt jest wzórem do ułożenia pozostałych trzech "przekręconych" trójkątów.

Proszę:  wycinajcie, układajcie!

 A jeśli mieszkacie w Warszawie na Ursynowie  - przybywajcie:)
Zapraszam 
Małgorzata Zienkiewicz

poniedziałek, 5 września 2016

CZARNO NA BIAŁYM

Dostałam zaproszenie do międzyblogowego projektu "Spoza tęczy", a Bubie z Bajdocji się nie odmawia;).

wpis - podsumowanie w Bajdocji

Codziennie rano przechodzę po posadzce, którą mam na klatce schodowej :

 Po drodze do sklepu mijam plac zabaw i  tablicę z nowym regulaminem:

Pomyślałam sobie: dwa kolory w jednym wpisie?  
Ups - niezgodne z regulaminem. Wybieram więc kolor CZARNY.
Kupiłam jedną mozaikę drewnianą czarno-białą dla 8 letniej córy i kilka bloków technicznych (kartki białe i czarne) z których dzielnie wycinam (trójkąty ze strony mathwire.com do druku: str.2 KLIK) stertę jednakowych trójkątów równoramiennych prostokątnych dla większej liczby dzieci.
Na początek...
Próba ułożenia wzoru z dołączonej książeczki  - zabrakło miejsca i jednego czarnego trójkąta?


WIĘCEJ WZORÓW NA STRONIE :

HALF SQUARE TRIANGLE QUILTS

Można też tworzyć KAFLOkąty wg. przepisu Anny Weltman "To nie jest książka do matmy":


Wystarczy kartka w kratkę.
Na blogu Marylin Burns znalazłam post:  Using Children’s Literature to Teach Math/Wykorzystanie literatury dziecięcej w nauczaniu matematyki:
"Odkryłam, że książki dla dzieci są niezwykle efektywnymi narzędziami w nauczaniu matematyki. Pobudzają wyobraźnię matematyczną uczniów w sposób, w jaki podręczniki czy książki z zadaniami tego nie potrafią. Połączenie matematyki z literaturą może dodać pewności siebie tym dzieciom, które kochają książki, ale obawiają się matematyki; a ci uczniowie, którzy już matematykę kochają, nauczą się doceniać opowieści w zupełnie nowy sposób."
Dzięki książce Marylin Burns "About teaching mathematics" (str.203) połaczę naukę angielskiego i matematyki z moja córą. Potrzebne są czarne koła, dostęp do internetu i białe kartki, z których powstanie ...stronicowa książeczka na podstawie:  

 "Ten Black Dots" Donald Crews


 Warto zwrócić uwagę na różnicę między liczbą stron i liczbą kartek.
 Przy okazji można wziąć udział w Międzynarodowym Dniu Kropki
 o którym dowiedziałam się z bloga Pani Jolanty Okuniewskiej.
http://kropka-dot.blogspot.com/

niedziela, 4 września 2016

PIENIĄDZE

Córa lubi chodzić sama do sklepu. Przynosi rachunki i rozlicza się (konkret w ręku - poznawanie monet) z Matką. Resztę/reszty wrzucam do swojej skarbonki. Zbieram na wszystkie książki  Marylin Burns. Jedną  znalazłam, przeczytałam. Teraz testuję na sobie i dzieciach.
  • COIN RIDDLES*/ Zagadki z monetami str. 162. Potrzebne są monety o nominałach: 1 grosz i 10 groszy. 
Riddle 1/Zagadka 1:
Mam dwie monety, razem warte 11 groszy. Jakie  monety ukryłam w dłoni? 
Riddle 2/Zagadka 2:
Mam trzy monety, razem warte  27 groszy.
Moim zdaniem wkradł się błąd  - opuściłam tę zagadkę. 
RIDDLE 3/Zagadka 3:
Mam cztery monety, razem warte 22 grosze. Jakie  monety ukryłam w dłoni? Podaj ich liczbę.
ZAGADKA 0:
Chowam w dłoni 4 monety dziesięciogroszowe i 2 monety jednogroszowe.
Pytanie: Zgadnijcie jakie monety ukryłam w dłoni?
Clue 1/Wskazówka 1:
Mam 6 monet.
Clue 2/Wskazówka 2:
Mam tylko monety o nominałach: 1 gr i 10 gr.

Clue 3/Wskazówka 3:
Mam przynajmniej dwie monety jednogroszowe.
Clue 4/Wskazówka 4:
Mam więcej dziesięciogroszówek niż jednogroszówek.
  • CROSS OUT SINGLES */Skreśl pojedyncze liczby str. 230 - GENIALNA!
  Gra dla dwóch osób lub małej grupy. Potrzebna jest kostka 1-6 lub  spinner/bączek 1-9

https://aiminghigh.aimssec.ac.za/grades-5-to-9-games-of-chance1/

 1. Każdy gracz ma planszę, a właściwie 3 plansze do trzech rund.
 Gotowe plansze są do wydrukowania TUTAJ - KLIK

2. Jeden  z graczy rzuca kostką. 
3. Wszyscy gracze wpisują w dowole pole na swojej planszy liczbę, która wypadła na kostce. Po wybraniu pola/miejsca/mały kwadrat nie można zmienić decyzji.
4. Kolejny gracz rzuca kostką. Wszyscy wpisują liczbę w drugie wolne (dowolne, ale przemyślane - patrz niżej) pole. Gracze kolejno rzucają kostką, aż wypełnione będa wszystkie miejsca - 9 małych kwadratów.
5. Gracze znajdują sumy liczb w wierszach, kolumnach, po przekątnej. Wyniki dodawania wpisują w kółka. 
6. Gracze skreślają wyniki dodawania, które występują tylko raz.
7. Nieskreślone liczby w kółkach dodają do siebie i zapisują wynik.
8. Po trzech rundach należy sprawdzić, kto uzyskał większy wynik.
UWAGA: mojej planszy brakuje (przeoczyłam) jednego kółka/jednego działania w prawym dolnym rogu, czyli dodawania liczb leżących na jednej z dwóch przekątnych. Ale i tak dobrze nam się grało.
Córa ćwiczyła m.in. mnożenie, przemienność dodawania, rozkład liczby na składniki.
Rozszerzenia gry:
1. Znajdź sposób, aby otrzymać wynik: 0 
2. Jaki największy wynik możesz uzyskać wstawiając liczby z przedziału 1-9 , ale uwaga: każdą liczbę możesz wpisać tylko raz! 
3. Jaką masz strategię wstawiania liczb?

  •  DIGIT PLACE*/Miejsce cyfry, czyli matematyczny MASTERMIND  str. 212 (liczby dwucyfrowe) i str.142 (liczby trzycyfrowe) GENIALNA!
Przed rozgrywką warto sprawdzić, czy dziecko rozumie zapis liczb w systemie dziesiętnym.

 Gra dla dwóch osób. Każdy z graczy wybiera sobie liczbę dwucyfrową (lub w drugiej wersji liczbę trzycyfrową) i zapisuje ją w tajemnicy na kartce. 
UWAGA: liczba nie może mieć dwóch takich samych cyfr np.33, 545.
Celem gry jest odgadnięcie liczby przeciwnika. Gracze na zmianę (gra toczy się równolegle) podają swoje propozycje liczb a w zamian dostają informację, ile cyfr z tej liczby odgadli oraz ile pozycji cyfr w tej liczbie jest trafionych. Zapisują to w tabelce. Każdy gracz ma swoją tabelkę.
Przykładowa rozgrywka - tylko liczby jednego gracza: do odgadnięcia jest liczba 17
źródło: Marylin Burns "About teaching mathematics"
Pierwszy Gracz strzela: 74
Drugi Gracz :
Digit/cyfra 1 oznacza, że odgadnięta została jedna cyfra. Gracz nie wie, czy to jest 7 czy 4. My/czytelnicy to wiemy: 7, bo szukana liczbą jest 17
Place/miejsce 0 oznacza, że żadna z tych dwóch cyfr liczby 74 nie stoi na właściwym miejscu. I to jest prawda, bo szukaną liczbą jest 17 - siódemka stoi na drugim miejscu licząc od lewej strony.
Kolejny strzał pierwszego gracza: 16
Drugi Gracz
Digit/cyfra 1 oznacza, że odgadnięta została jedna cyfra. Gracz nie wie, czy to jest 1 czy 6. My/czytelnicy to wiemy: 1, bo szukana liczbą jest 17
Place/miejsce 1 oznacza, że jedna z dwóch cyfr liczby 16  stoi na właściwym miejscu. I to jest prawda, bo szukaną liczbą jest 17 - jedynka stoi na pierwszym miejscu licząc od lewej strony.
Kolejny strzał pierwszego gracza: 84 
Drugi Gracz :
Digit/cyfra 0 oznacza, że nie jest to 8, ani 4.
Place/miejsce 0 oznacza, że żadna z tych dwóch cyfr liczby 84 nie stoi na właściwym miejscu. Logiczne.
Czas na kolejny strzał pierwszego gracza...

* Źródło: książka "About teaching mathematics" Marylin Burns.
W Polsce kiedyś pojawiła się: "Księga myślenia" Marylin Burns - jest dostępna w Bibliotece Narodowej:)

czwartek, 11 sierpnia 2016

sobota, 6 sierpnia 2016

RODZINNA MATEMATYKA

Na rodzinny wyjazd zabieram:
1. Książkę "Rodzinna Matematyka" Kamili Łyczek.
Źródło
Dla Czytelników, którzy bawili się z dziećmi 4 barwami i mapą wybrałam takie zadanie z w/w książki - namawiam do rysowania:
1. Okręty (str. 10):
  "... Pewien kapitan dowodzący flotyllą ma problem z ich rozróżnianiem. Na morzu statki wyglądają niemalże identycznie. Żeby ułatwić sobie dowodzenie, kapitan zarządził, by każdy okręt wyróżniał się innym układem kolorów okienek bocznych. Zlecił to zadanie starszym oficerom, którzy muszą je jak najszyciej wykonać.
1. Flotylla skupia tylko małe okręty, które mają dokładnie 2 okienka boczne z jednej strony. Kolory, którymi można je pomalować to żółty i zielony. Ile różnych okrętów może być we flotylli?
2. Jeżeli we flotylli jest 10 okrętów, każdy z dwoma okienkami, to czy trzema kolorami można pomalować okienka tak, jak chce tego kapitan (żeby każdy statek był inny)?
Czy możliwe jest, żeby okienka w tych 10 okrętach były tylko w dwóch kolorach?
3. Jeżeli we flotylli będą większe okręty, z trzema okienkami, a malować możemy je tylko na dwa kolory, to ile okrętów może być pod pieczą kapitana?
4. Flotylla znowu sie powiększa. Kapitan dowodzi teraz wielkimi czterookienkowymi statkami. Ile może ich być, jeżeli okienka są pomalowane tylko kolorem żółtym i zielonym (nadal żadne dwa okręty nie mogą wyglądać tak samo)?
...
Wskazówka dla rodziców (2,3,4): Starajcie się uporządkować odpowiedź. Można zacząć od takich kombinacji, które na pierwszym miejscu mają żółte okienko. Potem przejść do takich, które na pierwszym miejscu mają zielone okienko. Na końcu rozważyć takie, które na pierwszym miejscu maja okienko niebieskie. Więcej możliwości nie będzie. Przy zliczaniu wszystkich pomalowań należy sprawdzić, czy któraś opcja się nie powtarza"
Odpowiedzi (str. 132):
1. We flotylli mogą być 4 różne okręty.
2. Trzema kolorami można pomalować tylko 9 okrętów z dwoma okienkami.
Skoro nie ma możliwości pomalowania okrętów trzema kolorami, to tym bardziej nie ma możliwości pomalowania ich mniejszą liczbą kolorów.
3. Okienka okrętów można pomalować na dokładnie 8 różnych sposobów.
4. Może być 16 różnych okrętów..."

Do tej pory pamiętam sześcioletniego chłopca, który zaskoczył mnie swoim uporządkowaniem przy rozwiązywaniu podobnego zadania (ze strony nrich.math): budowanie wieży z trzech, a potem z czterech różnokolorowych klocków. Do dyspozycji miał zestaw klocków - liczmany sześciany:
źródło
3 Blocks Towers:
Weź trzy różnokolorowe klocki np. czerwony, żółty i niebieski. Zbuduj z nich wieżę. Jakiego koloru klocek masz na górze, w środku i na spodzie?
Spróbuj zbudować wieżę z tych klocków, tak żeby na górze był inny kolor. Ile różnych wież możesz zbudować? Upewnij się, czy znalazłeś wszystkie rozwiązania. Teraz spróbuj z czterema kolorami.
Jeśli brakuje klocków wystarczą kredki i kartka: wieża z 3 klocków, wieża z 4 klocków.  
2.Grę niewypowiedzianych słów: Tabu
Hasło wpisane do wyszukiwarki: MATH TABOO pomaga mi tworzyć własne matematyczne tabu na zajęcia ze starszymi dziećmi.
http://mathsticks.com/my/2014/04/shape-taboo/

Jak naprowadzić drużynę na hasło: trójkąt bez użycia słów: trzy, punkt, kąt? 
Ja spróbowałabym tak: sześciokąt foremny zbudować można z sześciu identycznych klocków, które są ... 
źródło
Inne pomysły? 
Zachęcam do podzielenia się nimi w komentarzu.





czwartek, 4 sierpnia 2016

4 BARWY

Ian Stewart w swojej książce "Niezwykłe liczby profesora Stewarta" tak opowiada:
" ... Około 150 lat temu matematycy* zajęli się mapami. Nie interesowały ich jednak problemy dotyczące sporządzania dokładnych map świata czy odzwierciedlania okrągłej kuli ziemskiej na płaskiej kartce papieru. Zaciekawiły ich dość mgliste pytania związane z ogólnym pojęciem mapy. W szczególności zaczęli się zastanawiać, co trzeba zrobić, żeby pokolorować mapę tak, by graniczące ze sobą obszary były oznaczone różnymi barwami. Niektóre mapy nie wymagają użycia zbyt wielu kolorów. Kwadraty szachownicy tworzą na przykład bardzo regularną mapę i do jej pokolorowania wystarczą dwie barwy.
szachownica do kolorowania

Gdy jednak obszary są mniej regularne, dwa kolory już nie wystarczą. Weźmy na przykład mapę Stanów Zjednoczonych z obszarami przedstawiającymi 50 stanów. Nie ulega wątpliwości, że do jej pokolorowania wystarczy 50 barw, po jednej na każdy stan, ale stać nas na więcej.  
Spróbujcie sami pokolorować te obszary, by się przekonać, jak najmniejszą liczbą barw uda się wam oznaczyć wszystkie stany zgodnie z przyjętymi wymogami. 
Warto może jeszcze tylko wyjaśnić jeden szczegół: stany stykające się ze sobą w jednym punkcie, takie jak Kolorado i Arizona mogą być oznaczone tym samym kolorem, ponieważ nie mają wspólnej granicy.
Mapa Stanów Zjednoczonych nie jest szczególnie skomplikowana i bez trudu możemy sobie wyobrazić mapy obejmujące miliony obszarów o powyginanych granicach i licznych wypustkach sięgających w różne odległe miejsca. Matematycy rozważający tę kwestie nabrali jednak silnego przekonania, że do pokolorowania każdej, najbardziej złożonej mapy wystarczą cztery barwy. Jeśli tylko jest spełniony warunek, że mapa jest narysowana na płaszczyźnie lub sferze i nie występują na niej obszary składające się z oddzielnych części, to cztery kolory w zupełności wystarczą..."
* "... Problem czterech barw pojawił się w 1852 roku, gdy Francis Guthrie, młody matematyk i botanik z Afryki Południowej, zabrał się do kolorowania hrabstw na mapie Anglii. Odniósł wrażenie, że zawsze wystarczają cztery barwy, spytał więc swojego brata Fredericka, czy jest to znany fakt. Frederick postawił to pytanie wybitnemu, choć ekscentrycznemu matematykowi Augustusowi De Morganowi, De Morgan nie miał pojęcia, zatem napisał do jeszcze wybitniejszego matematyka, sir Williama Rowana Hamiltona. Hamilton też nie znał odpowiedzi na to pytanie i szczerze mówiąc, nie bardzo go to interesowało..."
Dalszy ciąg historii twierdzenia o czterech barwach można również znaleźć w artykule: CZTERY BARWY WYSTARCZĄ, a w artykule: O DWÓCH TAKICH CO KOLOROWALI MAPĘ znalazłam dwuosobową grę o prostych regułach:
 "Niech dwaj gracze, Jacek i Placek (oryginalnie Minimizer i Maximizer  - Explorations in topology str. 90 ), na przemian kolorują regiony (państwa) zadanej mapy, mając do dyspozycji ustalony (ten sam dla obu) zbiór kolorów. Grę rozpoczyna Jacek i jego celem jest takie wybieranie regionów i kolorów, aby cała mapa została w końcu poprawnie pokolorowana. Natomiast jego przeciwnik, Placek, chce za wszelką cenę temu zapobiec. Jednak obu graczy obowiązuje ta sama reguła, że w każdym momencie gry regiony, które graniczą ze sobą, muszą mieć nadane różne kolory. Jacek zwycięża, gdy cała mapa została poprawnie pokolorowana, Placek zaś w przeciwnym przypadku."

Jak wykorzystać cztery barwy z dziećmi? Podpatrzyłam jak zrobili to inni:
  • Łamigłówki o rosnącym stopniu trudności polegające na kolorowaniu wzoru/mapy przy użyciu jak najmniejszej liczby kolorów zgodnie z regułą: 
Graniczące ze sobą obszary nie mogą być tego samego koloru. Obszary stykające się ze sobą w jednym punkcie mogą być oznaczone tym samym kolorem, ponieważ nie mają wspólnej granicy.

Math is fun:
źródło


Professor Joel David Hamkins : siedmioletnie dzieci i kolorowanie grafów.  Można wydrukować jedenasto-stronicową książeczkę z zadaniami opisanymi na blogu. Na stronie 6 dzieci mają za zadanie pokolorować "mapę" zgodnie z regułą opisaną wyżej przy użyciu jak najmniejszej liczby kolorów. Na stronie 7 mają narysować własną mapę i ją również pokolorować.
  • Gry
Colouring Curves Game: gra dla dwóch osób. Potrzebna jest kartka i ołówek. Jeden z graczy rysuje dowolną krzywą zamkniętą (przykład na stronie: klik). Na początek warto narysować krzywą z małą liczbą obszarów. 
Gracze na zmianę  wybieraja obszar i zamalowywują go zgodnie z regułą:  obszary nie mogą sąsiadować ze sobą/mieć wspólnej granicy, ale mogą się stykać w jednym punkcie.
Wygrywa gracz, który jako ostatni zamaluje obszar zgodnie z w/w regułą.

Warto zadać pytania:
  • Czy ma znaczenie, kto zaczyna grę? Czy to zależy od rodzaju krzywej?
  • Czy możesz zaprojektować krzywą, która zagwarantuje Ci zwycięstwo?
  • Przyjrzyj się zamalowanym obszarom, które się stykaja ze sobą. Czy możesz powiedzieć cos o ich liczbie?
  • Czy masz jakąś strategię wygrywającą?
Spider Web Map Coloring Game: dwie wersje gry dla kilku osób. 
Do gry potrzebna jest:
  • sześcienna kostka z takimi wartościami na ściankach: 1-1-1-2-2-Strata Kolejki
  • 3-4 różnokolorowe kredki
  • plansza: wybór w zależności od wersji gry
Gracze na zmianę rzucaja kostką. Liczba oczek, która wypadnie to liczba obszarów do pokolorowania zgodnie z regułami
  1. obszary sąsiadujące ze sobą muszą mieć różne kolory 
  2. obszary, które stykają się w jednym punkcie mogą być tego samego koloru.  
Gra toczy się dopóki można kolorować obszary. Wygrywa gracz, który zamalował ich najwięcej (wersja pierwsza gry dla 3-4 graczy) lub zdobył jak najwięcej punktów na zamalowanych przez siebie obszarach (wersja druga gry dla 2 - 4 graczy).