sobota, 17 lutego 2024

ODEJMOWANIE PISEMNE/Magiczna liczba 6174

Odejmowanie pisemne - część klasy już je opanowała, część klasy jeszcze nie. Trzeba się zatrzymać. Potrzebne jest mi zadanie, które zaangażuje wszystkich uczniów. Znalazłam je w książce Marilyn Burns "I Hate Mathematics":

Instrukcja i przykład ze zdjęcia:

  • Wybierz 4 różne cyfry od 0 do 9

np. 7, 8, 2, 3

  •  Utwórz z nich największą możliwą liczbę.
 8732

  • Utwórz z tych wybranych cyfr najmniejszą możliwą liczbę.
2378

  • Odejmij pisemnie mniejszą liczbę od większej - działanie na zdjęciu.
W wyniku otrzymano liczbę czterocyfrową 6354.

  • Utwórz z tycz czterech cyfr 6, 3 ,5 ,4 największą i najmniejszą możliwą liczbę. Odejmij je od siebie. Otrzymasz czterocyfrową  liczbę 6174 . 
Skąd wiadomo, że jest ona "magiczna"?

Utwórz z tych czterech cyfr 6, 1, 7, 4  liczbę największą i najmniejszą i odejmij je od siebie. Znów otrzymasz liczbę 6174!

Kolejne przykłady można obejrzeć na Numberphile


Uczniowie zastanawiali się, które cyfry warto wybrać, aby liczbę 6174 otrzymać w jednym kroku!

Najpierw pjawiła się taka czwórka cyfr od uczniów: 2,4,6,8  i spostrzeżenie, że różnica między kolejnymi cyframi/liczbami wynosi 2.

Uczniowie sprawdzili więc 1,3,5,7  - działa!

3,5,7,9 - działa!

Ktoś wpadł na pomysł i sprawdził kolejną  czwórkę cyfr: 3,4,6,9  (różnica między następną a poprzednią cyfrą/liczbą to 1,2,3,4)  - działa!

I zadzwonił dzwonek:) Dzięki temu uniknęłam trudnego pytania: Dlaczego to działa?

ODEJMOWANIE/Magia "Diff"

Niektórym dzieciom w 4 klasie nadal sprawia trudność odejmowanie w pamięci. Dzięki książce "Matma dla rodziców",  której autorami są Rob Eastaway i Mike Askew znalazłam zadanie/wyzwanie dla wszystkich uczniów: 

" Narysuj bardzo duży kwadrat. Poproś dziecko, aby wybrało jakieś ciekawe liczby do jego umieszczenia na 4 rogach..."

Dalszą część instrukcji dołączam na zdjęciu z tej książki.

Wyzwanie: "Kto potrafi wybrać cztery liczby mniejsze od 20, które pozwolą narysować najwięcej kwadratów, zanim wszystko się wyzeruje? Co się stanie z większymi liczbami? Liczbami ujemnymi? Ułamkami? Załóżmy, że nie zaczniemy od kwadratu, ale od trójkąta, sześciokąta"

Ja dałam uczniom wybór w doborze liczb. Niektórzy sprawdzali swoje teorie np. różnica liczb w wierzchołkach powinna być jak największa...



Jeszcze nie znamy odpowiedzi na pytanie: Jak ta "sztuczka" działa?

sobota, 3 lutego 2024

ODEJMOWANIE PISEMNE

 Tym razem pomysł wprowadzenia odejmowania pisemnego w 4 klasie pochodzi ze świetnej książki "Matma dla rodziców". Autorzy: Rob Eastaway oraz  Mike Askew.


Wywiązała się ciekawa dyskusja: dlaczego z setki nie mogę wziąć tylko 30? Nie musiałam odpowiadać na to pytanie - uczniowie za mnie to zrobili.

Po ćwiczeniach nadszedł czas na łamigłówkę ze strony: Subtraction with Regrouping 2 | Open Middle®

Masz do wyboru cyfry od 1 do 9. Każdej możesz użyć tylko raz. Jedno okienko to jedna cyfra.
Wspólnie znaleźliśmy jedno poprawne rozwiązanie - za trzecim razem. Trzymanie się warunków jest wyzwaniem dla dzieci.
Po pewnym czasie część uczniów zauważyła, jak mając jeden przykład generować kolejne. Kilkoro uczniów znalazło więcej rozwiązań ode mnie - co za radość dla obu stron. Jeden uczeń znalazł wszystkie i umiał to uzasadnić!

Przykładowy tok myślenia:


Kolejna lekcja to połączenie uczniów, którzy umieją odejmować pisemnie z uczniami, którzy potrzebują wsparcia. I ćwiczenie przykładów podczas genialnej gry dwuosobowej/można grać też we trójkę ze strony: Dicey Operations (maths.org)

Dwóch graczy, kostka, ołówek i plansza do druku  lub samodzielne jej przygotowanie. 

Rzucamy kostką i po każdym rzucie wypełniamy jedno z 8 swoich okienek. 

Gra Nice: odejmowanie dwóch liczb czterocyfrowych - rzut 8 razy kostką. Wygrywa osoba, która w wyniku odejmowania otrzyma liczbę najbliższą 1000.

Wersja  Nasty:  rzucamy kostką i po każdym rzucie wpisujemy cyfrę w swoje okienko LUB w okienko drugiego gracza. Emocje są!


Częsty błąd w słupku: odejmowanie liczby większej od mniejszej.

Dzielenie to wielokrotne odejmowanie tego samego. Przed nami dzielenie pisemne.



niedziela, 21 stycznia 2024

Sztuczka Magiczna/Dodawanie pisemne

Czwarta klasa i dodawanie pisemne:
Potrzebna kostka do gry, ołówek z gumką, plansza do druku lub do samodzielnego wykonania w zeszycie.
Rzut kostką wskazuje liczbę oczek, którą trzeba wstawić do jednego/dowolnego okienka.
Wygrywa osoba, która w wyniku dodawania trzech liczb trzycyfrowych otrzyma liczbę najbliższą 1000.
Na jednaj planszy 3 rodzaje rozgrywek:
  1. Na zmianę rzucamy kostką i wstawiamy liczbę oczek do swojego działania. Obliczamy sumę i sprawdzamy, kto jest bliżej 1000 - "od dołu i od góry". Gramy tak dwa razy.
  2. Rzucamy 9 razy kostką i zapisujemy z boku wszystkie wyrzucone liczby oczek i dopiero wtedy wypełniamy nimi swoje okienka. Cel ten sam: jak najbliżej 1000. Gramy tak jeden raz.
  3. Na zmianę rzucamy kostką i decydujemy, czy wyrzuconą liczbę oczek wstawiamy do swojego okienka, czy do okienka gracza? Cel: jak najbliżej 1000. Gramy tak 2 razy.
  • Podsumowanie na tablicy: jakie cyfry trzeba wstawić, aby w wyniku otrzymać dokładnie 1000? 

Uczniowie mieli różne dobre pomysły na otrzymanie 1000. Niektórzy podali przepis:
Suma cyfr setek musi być równa 9. Tak samo suma cyfr dziesiątek musi być równa 9. Suma cyfr jedności musi być równa 10.






Poprosiłam klasę o trzy liczby trzycyfrowe. Napisałam czwartą liczbę, która z pierwszą daje w sumie 999. Piąta liczba napisana przeze mnie po dodaniu do drugiej też daje 999.
Zaczyna się wyścig, kto szybciej poda sumę tych pięciu liczb? Ja, uczniowie, czy kalkulator?
Byłam pierwsza - odpowiedź napisałam na kartce i czekałam na jeden poprawny wynik:)
Uczniowie próbowali odkryć, jak to możliwe? Tym razem potrzebowali wsparcia. Po wyjaśnieniach -  nie wszyscy umieli wykonać tę sztuczkę. Od czego są przerwy i pomoc koleżeńska?

Wyjaśnienie: 999 to blisko 1000.  Pełne liczby szybko się dodaje. Dodawanie jest przemienne. Nadmiar trzeba na końcu odjąć.
1000 + 1000  =  2000
2000+ 549 = 2549
2549 - 2  = 2547


Po dodawaniu pisemnym warto zająć się mnożeniem pisemnym, bo przecież 124 + 124 + 124  = 3 x 124 .



piątek, 29 lipca 2022

Magia i Matematyka cz.2

Do zrozumienia dzisiejszej sztuczki dzieci powinny znać odpowiedzi na pytania:

  •  Czym różni się liczba parzysta od nieparzystej? TU wskazówka.
  • Jaką liczbą jest suma dwóch/trzech/czterech/... liczb parzystych? 

Wizualizacja konkretem.

  • Jaką liczbą jest suma dwóch/czterech/sześciu/... liczb nieparzystych?

  • Jaką liczbą jest suma trzech/pięciu/siedmiu/... liczb nieparzystych?

  • Jaka jest suma liczby parzystej i nieparzystej?
  • Czym jest mnożenie? Odpowiedź: wielokrotne dodawanie jednakowyh elementów.
Sztuczka pierwsza:  
Even/Odd czyli Parzyste/Nieparzyste ze strony:
Rekwizyty: 21 monet/fasolek/...

Dwójka dzieci (Nicole i Sean)  w tajemnicy dzieli się monetami.  Magik prosi Nicole o wykonanie działania , dzięki któremu wskaże dziecko z nieparzystą liczbę monet. 
Drugie dziecko oczywiście będzie miało parzystą liczbę monet. Dlaczego?

Nicole - pomnóż liczbę swoich monet przez 2 i dodaj ten wynik do liczby monet, które ma Sean.
Jeśli w wyniku tych obliczeń otrzymamy parzystą liczbę, to Nicole ma nieparzystą liczbę monet.
Jeśli w wyniku tych obliczeń  otrzymamy liczbę nieparzystą, to Sean ma nieparzystą liczbę monet.


Sztuczka druga/inna wersja sztuczki pierwszej:  
Odds/Nieparzyste and  Evens/Parzyste z mojej ulubionej strony Transum:
Rekwizyty: kilkanaście jednakowych monet/fasolek/... i dwie ręce: prawa oraz lewa.

Magik prosi dziecko, aby (w tajemnicy przed nim) do jednej ręki wzięło parzystą liczbę monet, a do drugiej nieparzystą ich liczbę. I zapamiętało swój wybór.
Po wykonaniu przez dziecko 3 działań  - magik wskaże rękę, w której ukryta jest nieparzysta liczba monet.

1. Pomnóż przez 3 liczbę monet w lewej ręce. 
2. Pomnóż przez 4 liczbę monet w prawej ręce.
3. Dodaj do siebie te dwa wyniki mnożenia i powiedz je na głos.

Gdy suma jest liczbą nieparzystą, to w lewej ręce jest nieparzysta liczba monet.
Gdy suma jest liczbą parzystą, to nieparzysta liczba monet jest w prawej ręce.


Na zakończenie zapraszam na obejrzenie "sztuczki" karcianej Odds and evens card tricksPowinna się ona spodobać młodszym dzieciom.  Krótki filmik jest w języku angielskim.  Z autotranslatorem dziwnie brzmi. 
Polega ona na tym, że między palce obu rąk dziecka magik wkłada za każdym razem parę  kart. Uwaga: ostatnia "przegródka" zawiera tylko jedną kartę. 
Następnie magik rozdziela na dwa stosy pierwszą parę kart. To samo robi z kolejną parą i kolejną...Powstaną dwa stosy kart.
Pytanie jest o ostatnią kartę. Na który stos ją położyć, aby liczba kart w tym stosie była nieparzysta?

Moja 14 letnia córa nie dała się nabrać:)

cdn.

czwartek, 21 lipca 2022

Magia i Matematyka cz.1

Dzieci lubią sztuczki magiczne. Część z nich szuka odpowiedzi na pytanie: jak to możliwe? Przy okazji wykorzystują/powtarzają/odkrywają matematykę. 
Książki i internet to bogate źródło. Wybieram te sztuczki, które potrafię powtórzyć, a czasem nawet zrozumieć. Dzisiejsza sztuczka wymaga znajomości potęgowania oraz wiedzy (najlepiej zdobytej z dziećmi wcześniej na lekcji), że z różnych potęg liczby 2 można zestawić każdą dowolną liczbę nie przekraczającą sumy tych potęg. O tym pisałam TU .
Z dokumentu https://web.northeastern.edu/seigen/11Magic/Teaching/Mathemagic.pdf wybrałam sztuczkę: "Magic age cards"/Odgadujemy dzień urodzin. 
Potrzebne będą karty/tabelki z liczbami:
Pokazujemy dziecku po kolei karty i przy każdej zadajemy to samo pytanie:
Czy widzisz tu swój dzień urodzin? Interesują nas tylko karty z odpowiedzią: TAK.
Z takiej karty wybieramy i zapamiętujemy liczbę w lewym górnym rogu  - niektóre dzieci zauważą, że są to kolejne potęgi liczby 2. 
Suma tak wybranych liczb to dzień urodzin dziecka.
Przykład:
Mój dzień urodzin pojawia się na karcie pierwszej , trzeciej i czwartej. Liczby w lewym górnym rogu to 1, 4, 8. Po ich dodaniu otrzymuję liczbę 13 - dzień moich urodzin.
Dobre pytanie: dlaczego 13 nie pojawiła się na karcie drugiej i piątej?
Warto namówić dzieci, aby tworzyły własne sztuczki/karty z liczbami.

Duże wrażenie na dzieciach zrobiła sztuczka on - line oparta na tej samej zasadzie:



cdn.

wtorek, 3 sierpnia 2021

TWIERDZENIE PITAGORASA

 Na początek warto przypomnieć:

Makaron/patyczki jednakowej długości

Trójkąt foremny/równoboczny - przy okazji rozmowa o kątach

W trójkącie prostokątnym wszystkie 3 boki nie mogą być równej długości.

Jak udowodnić, że przeciwprostokątna jest najdłuższym bokiem trójkąta prostokątnego?




Buba z Bajdocji  zaproponowała wykorzystać warunek trójkąta:



Następnie czytamy dziecku twiedzenie Pitagorasa i prosimy o jego wizualizację.

W trójkącie prostokątnym suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.

Kwadraty można rozumieć jako liczby i jako figury.

Warto obejrzeć prosty dowód twierdzenia Pitagorasa, a potem z wyciętych elementów go powtórzyć.

https://www.geogebra.org/m/FKzPy94N#material/yfbdvqc8

https://www.geogebra.org/m/P3m5yqMF#material/crYP6qHj

Kolejny krok - utrwalanie. 

  • Przygotowałam 6 kwadratów. Celowo użyłam papieru milimetrowego - pomoc w przeliczaniu jednostek pola powierzchni. Zadaniem dziecka było ułożenie dwóch trójkątów prostokątnych.

Długości boków kwadratów: 3 cm, 4 cm, 5 cm, 6 cm, 8 cm, 10 cm.

Pole powierzchni kwadratów w milimetrach kwadratowych?

Trójkąt egipski  o bokach 3,4,5 

W książce "Niezwykłe liczby profesora Stewarta" można znaleźć "przepis" na różne trójkąty prostokątne.

Zadania o rosnącym poziomie trudności, informacja zwrotna oraz  wskazówki w postaci kolejnych kroków i filmików!



Pięć wskazówek. Dziecko dwcyduje, czy wystarczy pierwsza wskazówka, czy potrzebuje otwierać kolejne.

Na koniec zadajemy pytanie, które znalazłam w książce "Przygody Alexa w krainie liczb":
Wyobraź sobie, że na poniższym rysunku kwadraty są ze złota. Możesz dostać 2 mniejsze kwadraty albo 1 duży kwadrat. Co wolisz?

autor: Alex Bellos

" Matematyk Raymond Smullyan powiedział, że kiedy zadaje to pytanie swoim studentom, połowa grupy chce 1 duży kwadrat, a druga połowa 2 mniejsze. Jedni i drudzy są potem bezmiernie zdumieni, kiedy dowiadują się, że wychodzi na to samo."

poniedziałek, 3 sierpnia 2020

ABC GEOMETRII cz.8

Dalej szukamy sposobów otrzymania trójkąta równoramiennego, który nie ma kąta prostego. Przy okazji rozmawiamy o symetrii osiowej/lustrzanej i wysokości trójkąta.
https://en.wikipedia.org/wiki/Symmetry
Drugi sposób otrzymania trójkąta równoramiennego wykorzystuje zdobytą wiedzę: http://mamatyka.blogspot.com/2020/07/abc-geometrii-cz4.html
Trójkat równoramienny to dwa przystające trójkąty prostokątne.
Zginamy kartkę na pół, dzięki temu otrzymamy oś symetrii. Na tej osi będzie leżał jeden z trzech wierzchołków trójkata.
Zaginamy kartkę tak jak na zdjęciu:
Otrzymujemy trójkąt prostokątny, który jest połową trójkata równoramiennego:
Po rozłożeniu kartki otrzymujemy trójkąt równoramienny.
Warto w tym miejscu zatrzymać się nad pojęciem wysokości trójkata.
Oś symetrii w tym trójkącie pokrywa się z wysokością.
Ile wierzchołków ma trójkąt? Ile wysokości ma trójkąt?
Spróbuj zaginając odpowiednio boki trójkąta otrzymać 3 jego wysokości.
Wysokość trójkąta to odcinek łączący wierzchołek trójkąta z przeciwległym bokiem i do niego prostopadły. 
Otrzymywanie prostych prostopadłych: http://mamatyka.blogspot.com/2020/07/abc-geometrii-cz5.html

Ortocentrum trójkąta to punkt przecięcia jego wysokości.
Czy zawsze Ci się uda?

https://www.geogebra.org/m/RawKNzqn

UWAGABuba podaje poprawną definicję wysokości trójkąta: to odcinek łączący wierzchołek trójkata z prostą zawierającą przeciwległy bok i prostopadły do tego boku.

Gdy mam wyjaśnić dzieciom
kwestie związane z wysokościami trójkąta: 

Trzeci sposób otrzymania trójkąta równoramiennego znalazłam w internecie:


 I znów rozmowa:
https://www.geogebra.org/m/NJ3EKuyb#material/ScHm58bD
Odcinek BF jest wysokością trójkąta ABC.
Odcinki AD i CF również są wysokościami tego  trójkąta - dlaczego?
https://www.geogebra.org/m/NJ3EKuyb#material/KPEKVaCE
Interakcja

I utrwalanie:
  •  Samoloty:

 Opcja: auto - tłumacz.




cdn.

ODEJMOWANIE PISEMNE/Magiczna liczba 6174

Odejmowanie pisemne - część klasy już je opanowała, część klasy jeszcze nie. Trzeba się zatrzymać. Potrzebne jest mi zadanie, które zaangażu...