MNOŻENIE UŁAMKÓW

Dla mojej córy tempo przerabiania materiału w szkole jest za duże. W domu zwalniamy i odkrywamy na nowo;) algorytmy. Teraz zajmujemy się ułamkami - działem sprawiającym dzieciom trudności.
Jednym ze sposobów dochodzenia do algorytmu mnożenia ułamków jest wykorzystanie pola powierzchni prostokąta. 
Zaczęłyśmy od przypomnienia, co to jest prostokąt? 
To czworokąt, którego wszystkie kąty są kątami prostymi. Czyli kwadrat też jest prostokątem.
Potem powtórka (z wykorzystaniem kwadratowych karteczek), jak oblicza się pole powierzchni prostokąta? Przy okazji pojawia się przemienność mnożenia - wiedza niezbędna przy skracaniu ułamków.

6 x 1 = 6

2 x 3  = 3 x 2  = 6

Prośba o zapisanie swoimi słowami wzoru na obliczanie pola powierzchni prostokąta:
bok x bok  = pole powierzchni prostokąta 
UWAGA: Czy mnożymy dowolne dwa boki prostokąta przez siebie?
I kolejne zadania:
M: Jakie jest pole powierzchni tego kwadratu? Przyjmij, że długość jego boku wynosi 1.
R: 1
M: Jak to obliczyłaś?
R: 1 x 1  = 1

Kwadrat jednostkowy.

M: Weź kwadrat i  podziel go na dwa równe prostokąty. Jakie pole powierzchni ma ten prostokąt?

R: 1/2
M: Jak to obliczyłaś?
R: 1 podzieliłam przez 2.
M: Ok. A z wykorzystaniem wzoru na pole powierzchni?
R:  1/2 x 1  = 1/2
M: Zrób rysunek i obliczenia na kartce. 
Zginając kwadrat otrzymaj 1/4 jego pola powierzchni. Jakie długości boków ma zamalowany przez Ciebie prostokąt? Zrób rysunek na kartce i wykonaj obliczenia wykorzystując wzór na pole powierzchni prostokąta.

1/2 x 1/2  = 1/4

A teraz zaznacz 1/8 pola powierzchni kwadratu:

1/2 x 1/4 = 1/8

Kolejny krok - tylko rysunek i obliczenia.

• Na kartce zaznacz 3/8 powierzchni kwadratu. Jak można obliczyć pole powierzchni tej części?

Córa zamalowała 3/8 w ten sposób:

2/2 x 2/4 = 4/8

Zamalowana powierzchnia nie jest prostokątem. Córa wybrnęła tak: obliczyła pole powierzchni większego prostokąta (4/8) i odjęła tyle, ile było trzeba.

•  Zilustruj działanie: 3/4 x 3/4. Oblicz.

 

itd.
Z liczbami mieszanymi np. 1 1/2 x 1/2 córa też sobie poradziła.

Wniosek/algorytm mnożenia ułamków: licznik x licznik i mianownik x mianownik.

Na koniec: PAMIĘTAJMY O SKRACANIU

Danuta Zaremba "Jak tłumaczyć dzieciom matematykę"

I wpis z poprzedniej wersji bloga:
Jeśli kogoś dręczy pytanie:

Dlaczego nie mogę dodawać ułamków, tak jak je mnożę?

Pan Ian Stewart w swojej książce "Gabinet matematycznych zagadek", część II daje taką odpowiedź:
"Właściwie możesz, jeśli chcesz - to wolny kraj. Podobno. Ale nie otrzymasz prawidłowej odpowiedzi."
 2/5 * 3/7 = 2*3/5*7 = 6/35 - to jest OK
2/5 + 3/7 = 2+3/5+7 = 5/12 - to nie jest OK
"Ponieważ 3/7 to prawie 1/2, podobnie jak 2/5, to kiedy dodajemy te ułamki, wynik musi wynosić co najmniej 1/2. Ale 5/12 to mniej niż 1/2, bo połowa 12 to 6. Błąd staje się jeszcze bardziej rażący, kiedy spróbujemy z  1/2 + 1/2, ponieważ:
1/2 + 1/2 = 1+1/2+2 = 2/4
nie ma sensu: przecież 2/4 = 1/2, więc taki rachunek mówi nam, że 1/2 + 1/2  = 1/2"
"Najłatwiej zrozumieć, dlaczego zasady dla tych dwóch działań są różne - i jakie być powinny - za pomocą obrazków..."
Julia przygotowała obrazki.
Żeby je zrozumieć , trzeba pamiętać, że:
1 cm * 1 cm = 1*1 cm*cm = 1 centymetr kwadratowy
2 cm * 3 cm = 6 centymetrów kwadratowych
Centymetry kwadratowe to jednostki powierzchni. 
6 centymetrów kwadratowych oznacza pole prostokąta o bokach np. 2cm i 3 cm.

• rysunek na górze przedstawia wynik mnożenia 2/5 * 3/7 = 2*3/5*7 =6/35

Pionowa kreska składa się z pięciu równych części.
2/5  - to dwie części z pięciu, stąd zaznaczone na niebiesko 2 części.
Pozioma kreska podzielona jest na siedem części.
3/7 - to trzy części z siedmiu, czyli zaznaczone są na niebiesko 3 części. 
Pole prostokąta otrzymujemy przez pomnnożenie dwóch boków. 
Duży prostokąt  składa sie z 5 * 7 = 35 kwadratów.
Mały - niebieski prostokat to 2*3  = 6 kwadratów. 
Mały prostokąt stanowi 6/35 dużego. 

•  rysunek na dole przedstawia wynik dodawania 2/5 + 3/7 = 29/35

2/5 - to dwie części z pięciu - na różowo zaznaczamy dwa górne rzędy z pięciu dostępnych.
3/7 - to trzy części z siedmiu - na niebiesko zaznaczamy trzy kolumny z siedmiu dostępnych.
Część obszaru zaznaczonego na niebiesko i różowo zachodzą na siebie.
Teraz liczymy pokolorowane kwadraty:
14 kwadratów dają dwa górne rzędy (2 * 7), a 15 kwadratów dają trzy kolumny (3 * 5), co daje w sumie 29 pokolorowanych kwadratów z 35 (5 * 7) istniejących.
Otrzymujemy stąd zasadę dodawania ułamków (sprowadzanie do wspólnego mianownika) : 2/5 + 3/7 = 2*7 + 3*5/ 5*7 = 29/35