Cyrkiel 4.

Dzisiaj poznamy konstrukcję prostej prostopadłej do odcinka, a także kilka niezbędnych pojęć.

Lista tartanów – Wikipedia, wolna encyklopedia

Wróćmy jeszcze do  zadania 2 z poprzedniego posta:

Znajdź trzy długości odcinków z których nie można skonstruować trójkąta.

Alicja znalazła takie długości odcinków: 6 cm, 2 cm, 3 cm.

Doszła też do wniosku: "suma długości dwóch krótszych boków musi być dłuższa od boku najdłuższego".

A gdy mamy  trójkąt równoboczny, który ma trzy boki jednakowej długości? Jak poprawić wniosek?

Rysunek jest wskazówką:

Czy teraz widać, że w trójkącie suma długości dwóch dowolnych boków jest zawsze większa od długości trzeciego boku?

Można również budować trójkąty z patyczków, pasków papieru, makaronu...

I kolejne, ważne pytanie: Ile trójkątów możesz zbudować z danych trzech odcinków?

Nadszedł czas na wprowadzenie kilku podstawowych pojęć.

Jan Zydler "Geometria"

Dimension/Wymiar

"... Punkt poruszający się w przestrzeni tworzy linię np. spadające gwiazdy w noc sierpniową.

Linia, kiedy porusza się w przestrzeni, zakreśla powierzchnię np. ruch szprych kołowych.

Ruch powierzchni to bryła..."

  Obtaining a Cylinder by Rotating a Rectangle – GeoGebra

Prosta nie ma ani punktu początkowego, ani punktu końcowego.

Półprosta ma punkt początkowy, ale nie ma punktu końcowego.

Odcinek ma punkt początkowy i końcowy.

Prawda podstawowa/Pewnik/Aksjomat: Przez dwa punkty można zawsze poprowadzić prostą, i to tylko jedną.

Kąt - źródło: "Geometria, matematyka dla nauczycieli" Krzysztof Mostowski, Wacław Zawadowski

a) Obrót półprostej względem jej początku. Kąt pełny - taki obrót, który przeprowadza daną półprostą na nią samą.

b) Część płaszczyzny między dwiema półprostymi o wspólnym początku, wraz z tymi półprostymi

Wizualizacja:

Drawing Angles: Hot and Cold Activity – GeoGebra

Figury (4) - kąty | Bajdocja

Kąt płaski | Wrocławski Portal Matematyczny - Matematyka jest ciekawa

Kąt prosty to ćwiartka płaszczyzny/ćwiartka kąta pełnego. Kąt pełny ma miarę 360 stopni.

Jakie może być wzajemne położenie dwóch różnych prostych na jednej płaszczyźnie?

a)  mają jeden punkt wspólny - przecinają się

b) nie mają żadnego punktu wspólnego - są równoległe.

Proste prostopadłe to takie proste, między którymi jest kąt prosty

Konstrukcja prostej prostopadłej.

1. Prosta prostopadła dzieląca odcinek na połowy.

• Narysuj odcinek AB
• Narysuj dwa okręgi, jeden o środku w punkcie A, drugi o środku w punkcie B. Oba mają promienie równe długości odcinka AB.
• Zaznacz punkty przecięcia się okręgów dużymi literami C i D.
• Poprowadź prostą CD przechodzącą przez punkty przecięcia okręgów

Prosta CD jest prostopadła do AB.

Czy ta konstrukcja nie wydaje Ci się znajoma z poprzednich postów?

2. Prosta prostopadła do odcinka wychodząca z danego punktu.

• Narysuj odcinek KL
• Narysuj dowolny punkt M. Nie musi on leżeć na odcinku, chociaż może.
• Narysuj okrąg o środku w punkcie M, tak aby przecinał się z odcinkiem w dwu punktach (np. A i B)

• Teraz postępujesz tak jak w przypadku konstrukcji pierwszej: prosta prostopadła dzieląca odcinek AB na połowy.

3. Prosta prostopadła do odcinka i przechodząca przez jego koniec.

Uwaga: w tym wypadku konstrukcja nr 2 nie zadziała. Czy wiesz dlaczego?

Można jednak wykorzystać konstrukcję nr 1. Czy wiesz w jaki sposób?

• Narysuj odcinek AB
• Narysuj okrąg o środku w końcu odcinka (u mnie jest to punkt B) i dowolnym promieniu mniejszym od długości odcinka. Otrzymasz punkt przecięcia C
• Narysuj kolejno okręgi o tym samym promieniu CB. Otrzymasz punkty przecięcia D, E, F.

Prosta FB jest prostą prostopadłą do odcinka AB.

Czy umiesz podać inny sposób konstrukcji prostej prostopadłej do odcinka przy pomocy cyrkla i linijki?

Konstrukcję prostej prostopadłej do odcinka wykorzystamy do narysowania 

a) dwunastokąta równobocznego.

1.  Konstrukcja trójkąta równoboczny z odcinka: MAMATYKA: Cyrkiel 2.
2.  Konstrukcja sześciokąta foremnego: MAMATYKA: Cyrkiel 2.
3.  Konstrukcja prostej prostopadłej dzielącej odcinek na połowy.

Dzieląc dalej -  można otrzymać 24 - kąt, 48 - kąt, 96 kąt...

b) kwadratu z odcinka i ośmiokąta foremnego...

1. Narysuj odcinek i dwa okręgi o środkach w punktach A i B , oraz promieniach równych AB

Punkty A i B to końce odcinka 

2. Wykorzystaj konstrukcję prostej prostopadłej do odcinka AB i przechodzącej przez jego koniec. Punkty przecięcia tych prostych z okręgami to kolejne dwa wierzchołki kwadratu, 

Gdy narysujemy przekątne kwadratu - wyznaczą one nam środek okręgu opisanego na kwadracie. 

Teraz wykorzystujemy konstrukcję prostej prostopadłej dzielącej odcinek (tu boki kwadratu) na połowy.

Można inaczej - zacząć od okręgu i wpisać go w kwadrat.

1. Narysuj okrąg o środku w punkcie A i promieniu AB

2. Narysuj prostą AB

3. Narysuj prostą prostopadłą do niej i przechodzącą przez środek okręgu (punkt A)

4. Połącz otrzymane na okręgu punkty B,C,D,E - otrzymasz kwadrat.

Co powiesz o przekątnych kwadratu?

Narysuj teraz cztery okręgi o środkach w wierzchołkach kwadratu i promieniu równemu połowie przekątnej. 

Zaznacz punkty przecięcia tych okręgów z bokami kwadratu. Połącz te punkty odcinkami.

Czy umiesz z 8-kąta foremnego zrobić 16-kąt foremny?

Lubię dwunastokąt foremny:

...

Na koniec ciekawostka z podręcznika GWO Matematyka 6 z plusem:

https://flipbook.apps.gwo.pl/display/2990

cdn.