ODEJMOWANIE PISEMNE

 Tym razem pomysł wprowadzenia odejmowania pisemnego w 4 klasie pochodzi ze świetnej książki "Matma dla rodziców". Autorzy: Rob Eastaway oraz  Mike Askew.

Wywiązała się ciekawa dyskusja: dlaczego z setki nie mogę wziąć tylko 30? Nie musiałam odpowiadać na to pytanie - uczniowie za mnie to zrobili.

Po ćwiczeniach nadszedł czas na łamigłówkę ze strony: Subtraction with Regrouping 2 | Open Middle®

Masz do wyboru cyfry od 1 do 9. Każdej możesz użyć tylko raz. Jedno okienko to jedna cyfra.
Wspólnie znaleźliśmy jedno poprawne rozwiązanie - za trzecim razem. Trzymanie się warunków jest wyzwaniem dla dzieci.

Po pewnym czasie część uczniów zauważyła, jak mając jeden przykład generować kolejne. Kilkoro uczniów znalazło więcej rozwiązań ode mnie - co za radość dla obu stron. Jeden uczeń znalazł wszystkie i umiał to uzasadnić!

Przykładowy tok myślenia:

Kolejna lekcja to połączenie uczniów, którzy umieją odejmować pisemnie z uczniami, którzy potrzebują wsparcia. I ćwiczenie przykładów podczas genialnej gry dwuosobowej/można grać też we trójkę ze strony: Dicey Operations (maths.org)

Dwóch graczy, kostka, ołówek i plansza do druku  lub samodzielne jej przygotowanie. 

Rzucamy kostką i po każdym rzucie wypełniamy jedno z 8 swoich okienek. 

Gra Nice: odejmowanie dwóch liczb czterocyfrowych - rzut 8 razy kostką. Wygrywa osoba, która w wyniku odejmowania otrzyma liczbę najbliższą 1000.

Wersja  Nasty:  rzucamy kostką i po każdym rzucie wpisujemy cyfrę w swoje okienko LUB w okienko drugiego gracza. Emocje są!

Częsty błąd w słupku: odejmowanie liczby większej od mniejszej.

Dzielenie to wielokrotne odejmowanie tego samego. Przed nami dzielenie pisemne.

SYSTEM DZIESIĄTKOWY cd.

Kolejny krok za nami: wypełnianie tabelki i układanie pieniędzy:

Podczas rozwiązywania zadań z podręcznika (duże liczby, wszystkie  naraz) dzieci się pogubiły. Na kolejnej lekcji zajęliśmy się więc tylko liczbami czterocyfrowymi. Podczas "OKROPNEJ" gry (strategia, szacowanie, losowość i rywalizacja) dzieci samodzielnie odkrywały, która liczba jest większa.

•  Nice or Nasty

Dwóch graczy, kostka, ołówek i kartka papieru.
Gracze na zmianę rzucaja kostką i decydują w które okienko/na którym miejscu (system dziesiętny) wpisać cyfrę. Każdy z nich rzuca 4 razy, a potem odczytuje swoją czterocyfrową liczbę. Wygrywa osoba, która ma największą liczbę czterocyfrową (lub najmniejszą). Warto umówić się na konkretną liczbę rozgrywek.
Z moich doświadczeń wynika, że największe emocje budziła wersja gry nr. 5 (nasty version): wyrzuconą cyfrę możemy wstawić w swoje okienko lub w okienko przeciwnika. 
Uwaga: każdą kolejną rundę rozpoczyna inny gracz.

Trzech graczy - wersja nasty/okropna.

Źródło zdjęcia

 
Inna propozycja wygranej:
Ustalamy "cel" tzn. liczbę do której chcemy się zbliżyć. Wygrywa osoba, której różnica między celem i otrzymaną liczbą jest najmniejsza.
Np. celem gry jest liczba 5000
Gracz 1: 6009
Gracz 2: 3992
Wygrywa gracz drugi, bo jego wynik jest bliżej celu niż gracza pierwszego.

 
Praca domowa (10 min;): Wyjaśnij jak porównać dwie liczby (która z nich jest większa):

a) o tej samej liczbie cyfr.

b) o różnej liczbie cyfr.

Podaj swoje przykłady i uzasadnij pisemnie.

Poniżej kolejne gry z poprzedniej wersji bloga:

Dodawanie w pamięci liczb dwucyfrowych:

• Dicey Addition 

 Dwóch graczy, kostka, ołówek i taka plansza:

https://nrich.maths.org/11863

Gracze na zmianę rzucają kostką. Po każdym rzucie decydują w które z czterech okienek wpisać wyrzuconą cyfrę. Rzucanie kostką trwa do momentu otrzymania przez każdego gracza dwóch liczb dwucyfrowych. Wygrywa ta osoba, która w wyniku dodawania swoich liczb otrzyma liczbę najbliższą  np. 100.

 Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie:

• Dicey Operations 

Dwóch graczy, kostka, ołówek i plansze do druku  
Tutaj również rzucamy kostką i wypełniamy okienka. Można to jednak robić na dwa sposoby:

1. po każdym rzucie wypełniać wybrane okienko
2. zapisać z boku wszystkie wyrzucone cyfry i dopiero wtedy wypełnić nimi okienka.   

 Gra 1 - dodawanie trzech liczb trzycyfrowych - rzut 9 razy kostką.
 Wygrywa osoba, która w wyniku dodawania otrzyma liczbę najbliższą 1000.
Uwaga: do szacowania można użyć kalkulatora.
Rozgrywki czwartoklasistów:

Nie zawsze trzeba liczyć, żeby wiedzieć kto wygrał.
I wersja z odejmowaniem:

Pojawiają się też liczby ujemne i pomoc koleżeńska w obliczaniu.

CYFRY W SYSTEMIE DZIESIĄTKOWYM

Korzystając ze zdobytej wiedzy na poprzednich lekcjach (http://mamatyka.blogspot.com/2019/02/wyspa-1.html) zrobiliśmy podsumowanie:

Dzieci dostały karty pracy z zadaniami (z prośbą o  samodzielne rozwiązywanie, w razie trudności współpraca z sąsiadem, a w razie utknięcia pomoc nauczyciela) z genialnej książki Doroty Klus Stańskiej i Aliny Kalinowskiej: "Rozwijanie myślenia matematycznego młodszych uczniów".

"... Proponowana książka nie jest ani podręcznikiem, ani przewodnikiem metodycznym. Jest to opatrzony komentarzem zbiór zadań niestandardowych dla najmłodszych uczniów, które dają im szansę głębszego zrozumienia matematyki..." "... Nie chodziło nam więc o to, by zaproponować uczniom dodatkowe "atrakcje" na lekcje, ale by wywołać inne, zaniedbywane przez szkołę strategie myślenia w matematyce. Każdy rozdział zaczyna się komentarzem, który pomoże nauczycielowi dostrzec walory edukacyjne poszczególnych zadań, przeanalizować tkwiące w nich trudności poznawcze i zadecydować, jakiego rodzaju umiejętności może uczeń rozwinąć podczas ich rozwiązywania. Ich celem jest również zachęcenie nauczycieli do tworzenia własnych wersji zadań niestandardowych..."

W rozdziale 4. Cyfry i Liczby przeczytałam, że:

"... Niejednokrotnie nauczyciel ogranicza się do wyjaśnienia, że cyfra jest po prostu znakiem graficznym. Powszechnie jest stosowana analogia do litery. Mówi się, że cyfra dla liczby, jest tym czym litera dla wyrazu. Tymczasem funkcja cyfry w liczbie na poziomie rozumienia matematycznego jest bardziej złożona niż funkcja litery. Zrozumienie tej funkcji staje się tak naprawde możliwe tylko przez działania związane z zadaniami, umożliwiającymi badanie takich relacji..."

Zadania dzieciom sprawiały trudności - dokładnie takie jak opisane w komentarzach.

np. zad.14

Napisz największą liczbę czterocyfrową taką, żeby jej wszystkie cyfry były różne. Odp. 9876.

Zadanie dzieci zrobiły dobrze, ale już w kolejnym zadaniu zapomniały o zerze:

Zad 15. 

Napisz najmniejszą liczbę czterocyfrową taką, żeby jej wszystkie cyfry były różne.

Zad. 23 

Pewna trzycyfrowa liczba składa się z samych cyfr nieparzystych, z których każda jest dwa razy większa od poprzedniej. Jaka to liczba? Czy to zadanie ma tylko jedno rozwiązanie?

Zad 41

W wieżowcu były 44 mieszkania. Ilu jedynek użyto do ich ponumerowania?

Zad. 44

Marysia ponumerowała wszystkie strony w swoim 16 - kartkowym zeszycie. Ilu cyfr musiała do tego użyć?

Po zadaniach dzieci chętnie grały w świetną grę, którą dawno temu znalazłam w książce Marylin Burns "About teaching mathematics":

•  DIGIT PLACE*/Miejsce cyfry, czyli matematyczny Mastermind str. 212 (liczby dwucyfrowe) i str.142 (liczby trzycyfrowe).

  Gra dla dwóch osób. Każdy z graczy wybiera sobie liczbę dwucyfrową (lub w drugiej wersji liczbę trzycyfrową) i zapisuje ją w tajemnicy na kartce.
UWAGA: liczba nie może mieć dwóch takich samych cyfr np.33, 545.
Celem gry jest odgadnięcie liczby przeciwnika. Gracze na zmianę (gra toczy się równolegle) podają swoje propozycje liczb a w zamian dostają informację, ile cyfr z tej liczby odgadli oraz ile pozycji cyfr w tej liczbie jest trafionych. Zapisują to w tabelce. Każdy gracz ma swoją tabelkę.
Przykładowa rozgrywka - tylko liczby jednego gracza: do odgadnięcia jest liczba 17

źródło: Marylin Burns "About teaching mathematics"

Pierwszy Gracz strzela: 74
Drugi Gracz :
Digit/cyfra 1 oznacza, że odgadnięta została jedna cyfra. Gracz nie wie, czy to jest 7 czy 4. My/czytelnicy to wiemy: 7, bo szukana liczbą jest 17
Place/miejsce 0 oznacza, że żadna z tych dwóch cyfr liczby 74 nie stoi na właściwym miejscu. I to jest prawda, bo szukaną liczbą jest 17 - siódemka stoi na drugim miejscu licząc od lewej strony.
Kolejny strzał pierwszego gracza: 16
Drugi Gracz: 
Digit/cyfra 1 oznacza, że odgadnięta została jedna cyfra. Gracz nie wie, czy to jest 1 czy 6. My/czytelnicy to wiemy: 1, bo szukana liczbą jest 17
Place/miejsce 1 oznacza, że jedna z dwóch cyfr liczby 16  stoi na właściwym miejscu. I to jest prawda, bo szukaną liczbą jest 17 - jedynka stoi na pierwszym miejscu licząc od lewej strony.
Kolejny strzał pierwszego gracza: 84 
Drugi Gracz :
Digit/cyfra 0 oznacza, że nie jest to 8, ani 4.
Place/miejsce 0 oznacza, że żadna z tych dwóch cyfr liczby 84 nie stoi na właściwym miejscu. Logiczne.
Czas na kolejny strzał pierwszego gracza...

* BUBA Z BAJDOCJI zaprasza na "Master mind z podzielnością": https://bajdocja.blogspot.com/2017/02/master-mind-z-podzielnoscia.html

WYSPA 1

Z uczniami klasy 4 spędziliśmy na wyspie Mechania dwie lekcje w ramach przygotowania do kolejnego działu w podręczniku: system dziesiątkowy. Polecam!

https://www.explodingdots.org/g/young-swan-100

Na pierwszej lekcji wykorzystaliśmy ołówek/gumkę/długopis ścieralny i zeszyt.

ź®ódło zdjęcia

     

 Ustawiliśmy jedną maszynę na drugiej:

MNOŻENIE/DZIELENIE/POTĘGOWANIE/KODOWANIE/WZÓR

Praca domowa (10 minut): ćwiczenia z maszyną 2-1 na komputerze/telefonie/tablecie.

https://www.explodingdots.org/g/young-swan-100/station/I1S1

Na drugiej lekcji dzieci samodzielnie pracowały z maszynami 3-1 i 10-1 na tabletach. Podłoże pod system dziesiątkowy przygotowane.
Przy tej okazji wklejam (z poprzedniej wersji bloga)sztuczkę magiczną, którą zamierzam zaprezentować dzieciom przed świętami;)

Jak wypłacić żądaną sumę, nie otwierając kopert zawierających pieniądze?

Odgadnienie z książki Szczepana Jeleńskiego "Śladami Pitagorasa"

"W dziewięciu zaklejonych kopertach znajduje się ogółem 300 zł albo też asygnaty na taką sumę. Zaproponujcie, by ktoś z obecnych wymienił zupełnie dowolnie obraną przez siebie kwotę w liczbach całkowitych (oczywiście mniejszą niż 300 zł). Zdołacie ją wypłacić, nie otwierając ani jednej koperty. Niechaj ktoś inny następnie wymieni inną liczbę - i te wyliczycie natychmiast bez braków lub naddatków pełnymi zamkniętymi kopertami.

Przypuśćmy, iż ktoś zażądał 213 zł. Podajecie mu pięć kopert, które tamta osoba otwiera i znajduje kolejno:

128+64+16+4+1 = 213 zł

Ktoś inny zażądał 293 zł. Teraz nawet nie wybieracie sami, lecz polecacie zdjąć trzy pierwsze koperty; w pozostałych sześciu znajdzie się żądana suma.

Jest to doświadczenie bardzo efektowne, a na niezmiernie prostym oparte pomyśle. Polega ono na specjalnym rozłożeniu różnych kwot w owych dziewięciu kopertach. Trzeba mianowicie w ośmiu kopertach rozłożyć pieniądze w taki sposób:

Koperta I -    1zł

Koperta II -   2zł

Koperta III -  4zł

Koperta IV -  8zł

Koperta V -  16zł

Koperta VI - 32zł

Koperta VII -64zł

Koperta VII - 128zł

W kopercie IX, którą "dla niepoznaki" położyć można nad kopertą I, albo między IV i V, albo w innym obranym przez siebie miejscu, umieszcza się całą resztę pieniędzy, tj. 45 zł.

Doświadczenie to opiera się na znanej zasadzie, że z różnych potęg liczby 2 można zestawić każdą dowolną liczbę nie przekraczającą sumy tych potęg. 

Kwoty zaś rozłożone w ośmiu kopertach istotnie stanowią ciąg:

2 do potęgi 0 = 1

2 do potęgi 1 = 2

2 do potęgi 2 = 4

2 do potęgi 3 = 8 

...

2 do potęgi 7 = 128zł

a więc z zawartości ośmiu kopert zestawić można każdą żądaną liczbę od 1 do 255. Jeśli zaś wymieniona liczba przewyższa 255, to do wypłaty używa się koperty IX z zawartością 45 zł, a różnicę pomiędzy sumą żądaną i 300 złotymi odciąga się przez usuwanie kopert z mniejszymi kwotami.

I jeszcze warto zatrzymać się nad takim pytaniem:

Dlaczego 2 do potęgi 0 równa się 1?

Odpowiedź znalazłam w książce Lary Alcock "Mathematics Rebooted: A Fresh Approach to Understanding" : 

https://laraalcock.wordpress.com/for-everyone/

SYSTEMY ZAPISYWANIA LICZB

Przed uczniami klasy 4: system dziesiątkowy. Zamierzam go wprowadzić z genialną pomocą "Wybuchających kropek": https://www.explodingdots.org/g/young-swan-100

https://www.globalmathproject.org/

Przede mną: uzupełnienie wpisów - postanowienie noworoczne;)

Ostatnio tylko wrzucam ciekawostki na https://www.facebook.com/rodzinnamatematyka/

Łatwa matma

Anne Lene Johnsen i Elin Natas:

 Przedmowa: http://www.marginesy.com.pl/uploads/attachments/133173/matma-fragment.pdf.pdf
Wybrane fragmenty:
 "... Matematyka jest typowym przedmiotem "warstwowym". Proces jej nauki opiera się na tym, że zdobywamy całą niezbędną wiedzę i umiejętności, które tworzą jej fundamenty. Jeśli są w niej dziury, prędzej czy później napotkamy trudności.

W przepisach, które zawarłyśmy w tej książce, pokażemy wam, czego uczniowie muszą się nauczyć, by móc opanować konkretne zagadnienia matematyczne - innymi słowy: jakie dziury w fundamentach mogą doprowadzić do tego, że nauka matematyki na wyższych "piętrach" idzie im jak po grudzie.

Żeby nauczyć się myśleć, analizować i wyciągać wnioski, potrzebujemy niezawodnego systemu pojęć. To dzięki nim jesteśmy w stanie oddzielać rzeczy od siebie, zestawiać je ze sobą i we właściwy sposób wykorzystywać informacje, którymi dysponujemy.

Najważniejsze są pojęcia podstawowe. Pedagog Magne Nyborg wyodrębił 23 podstawowe  systemy pojęć: kolor, kształt (linia/płaszczyzna/przestrzeń), położenie (poziome/pionowe/ukośne), wielkość, miejsce, ilość, wzór, kierunek, przeznaczenie (funkcja), materiał (rodzaj/właściwość), ożywiony/nieożywiony, dźwięk, powierzchnia, temperatura smak, zapach, czas, zmiana, prędkość, waga, siła (siła ciążenia itp.), wartość, rodzaj.

Ucząc się czegoś nowego, potrzebujemy podstawowych pojęć, które mówią nam o cechach tego, czego doświadczamy i co widzimy wokół nas.

Kładąc fundamenty pod dalszą naukę, ważne, by robić to gruntownie i za pomocą konkretów.

Nauczanie pojęć składa się z czterech etapów..."

Z córą zamierzam przystąpić do pracy nad czasem,

http://www.marginesy.com.pl/sklep/produkt/133173/latwa-matma

którą zakończymy Pasjansem królewskim:

http://www.marginesy.com.pl/sklep/produkt/133173/latwa-matma

Na lekcje w 4 klasie (system liczbowy/pozycyjny) zamierzam wykorzystać pomysł autorek. Potrzebne mi będą:

• kartki z kratkami np. 1 cm x 1 cm

• pionki/koraliki/makarony/multiklocki*
• karteczki z cyframi od 0 do 9  - co najmniej 3 karteczki z cyfrą 0

Zaczynamy od pracy z cyfrą jedności.

Na kartce nie ma nic, czyli ilość wynosi 0. 
Liczymy w następujący sposób: 
kładziemy jeden pionek : 0 i 1  to 1,

Kładziemy drugi pionek: 1 i 1 to 2
...

9 i 1 to 10 - ups mamy tylko 9 krateczek, a 10 pionków, czyli jedną dziesiątkę!
"związujemy" dziesięć jedności w jedną dziesiątkę: 10. Wstawiamy ją w odpowiednie miejsce  - zajmujemy jedną kratkę w cyfrze dziesiątek. 

I liczymy  dalej do 100, do 1000...

* inna opcja: wydrukowane pieniądze - jeśli dzieci mają doświadczenie z pieniędzmi.

Kolejny etap: pionki/pieniądze zamieniamy na cyfry na karteczkach.

Zaczynamy liczyć od 0 - kładziemy cyfrę 0 na miejscu dla jedności.

Liczymy 0 i 1 to 1 , zabieramy karteczkę z cyfrą 0, a kładziemy z cyfrą 1.

Liczymy 1 i 1 to 2 , zabieramy karteczkę z cyfrą 1, a kładziemy z cyfrą 2.

Gdy dojdziemy do 9 i 1 to:

 itd...


"...Kiedy zamiany zostaną zautomatyzowane, możecie zacząć zabawę. Kładźcie różne cyfry na miejscach dla liczby jedności, dziesiątek, setek i tysięcy i przekonajcie się, czy uczniowie potrafią odczytać poszczególne liczby..."

Po takich ćwiczeniach zrozumienie odejmowania pisemnego nie powinno sprawiać trudności:

http://www.marginesy.com.pl/sklep/produkt/133173/latwa-matma

Na zakończenie  - proste wytłumaczenie, które znalazłam w książce Lary Alcock "Mathematics Rebooted: A Fresh Approach to Understanding" : 

Dlaczego 2 do potęgi 0 równa się 1?

https://laraalcock.wordpress.com/for-everyone/

Zmykam do kuchni - czytać "Symetrię kiełbasy" - kolejną książkę kupioną przez Bibliotekę Publiczną w Warszawie.